Determine se as retas L1 e L2 são paralelas, reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
\begin{aligned} & L 1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{2}=2-z \\\ & L 2: x-2=6-y=\frac{z+2}{3} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas L1 e L2 em \mathbb{R}^3 são paralelas, reversas ou concorrentes e, em caso de concorrência, encontrar o ponto de interseção. Vamos usar representação paramétrica de retas, comparação de vetores diretores e solução de um sistema de equações.

Passo 2

Reescrevemos L1 em forma paramétrica. Seja \lambda tal que
\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{2}=2-z=\lambda.
Daí
x=1+2\lambda,\quad y=3+2\lambda,\quad z=2-\lambda.
Logo L1 passa por P_1=(1,3,2) e tem vetor diretor \vec v_1=(2,2,-1).

Passo 3

Reescrevemos L2 em forma paramétrica. Seja \mu tal que
x-2=6-y=\frac{z+2}{3}=\mu.
Daí
x=2+\mu,\quad y=6-\mu,\quad z=-2+3\mu.
Logo L2 passa por P_2=(2,6,-2) e tem vetor diretor \vec v_2=(1,-1,3).

Passo 4

Comparamos \vec v_1=(2,2,-1) e \vec v_2=(1,-1,3). Não existe escalar k tal que (2,2,-1)=k\,(1,-1,3), pois isso levaria a condições contraditórias. Logo as retas não são paralelas.

Passo 5

Para verificar interseção, igualamos as representações:
(1,3,2)+\lambda(2,2,-1)=(2,6,-2)+\mu(1,-1,3).
Isto gera o sistema
1+2\lambda=2+\mu, \quad 3+2\lambda=6-\mu, \quad 2-\lambda=-2+3\mu.
Das duas primeiras, somamos e achamos 4\lambda=4\Rightarrow\lambda=1. Substituindo em 1+2\lambda=2+\mu vem \mu=1. A terceira equação confirma esses valores.

Passo 6

Com \lambda=1, o ponto em L1 é
(x,y,z)=(1+2\cdot1,\;3+2\cdot1,\;2-1)=(3,5,1).

Resposta

As retas são concorrentes e intersectam-se no ponto (3,5,1).

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