Considere os pontos A(1,0,1), P(2,5,2), Q(2,-1,1), R(6,1,3) e determine o volume do paralelepípedo determinado pelas arestas A P, A Q, A R.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,0,1), P(2,5,2), Q(2,-1,1) e R(6,1,3) e pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ} e \overrightarrow{AR}. Para isso, precisamos usar o produto misto de três vetores, cuja magnitude é o volume do paralelepípedo.

Passo 2

Vamos calcular os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AP} = P - A = (2-1,\;5-0,\;2-1) = (1,5,1),
\overrightarrow{AQ} = Q - A = (2-1,\;-1-0,\;1-1) = (1,-1,0),
\overrightarrow{AR} = R - A = (6-1,\;1-0,\;3-1) = (5,1,2).

Passo 3

O produto misto é dado por
\overrightarrow{AP}\cdot\bigl(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AR}\bigr).
Primeiro calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AR}:
\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1\cdot2 - 0\cdot1) - \mathbf{j}(1\cdot2 - 0\cdot5) + \mathbf{k}(1\cdot1 -(-1)\cdot5)
= (-2)\,\mathbf{i} - (2)\,\mathbf{j} + (6)\,\mathbf{k} = (-2,-2,6).

Passo 4

Agora o produto misto:
\overrightarrow{AP}\cdot\bigl(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AR}\bigr) = (1,5,1)\cdot(-2,-2,6) = 1\cdot(-2) + 5\cdot(-2) + 1\cdot6 = -2 -10 +6 = -6.
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado.

Resposta

O volume é 6.

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