Considere o plano
formado por
.
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal do vetor
no plano acima.
b) Encontre
cuja projeção é dada por
e a sua respectiva componente ortogonal ao plano.
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal do vetor
b) Encontre
Passo 1
O enunciado pede pra achar a projeção ortogonal de um vetor no plano S dado por z=2x+2y. Na parte (a) vamos encontrar a matriz canônica dessa projeção. Na parte (b) precisamos achar um vetor v cuja projeção em S é (5,−4,2)^t e também determinar sua componente ortogonal ao plano.
Passo 2
Primeiro reescrevemos o plano na forma implícita
Dessa forma, um vetor normal ao plano é n=(2,2,−1). Vamos precisar de ||n||^2 para usar a fórmula da projeção.
Passo 3
Para projetar ortogonalmente num plano com normal n usamos
Calculando ||n||^2 temos 22+22+(−1)^2=9. E
Logo
Passo 4
Para a parte (b), seja p=proj_S(v)=(5,−4,2)^t. Como P(v)=p, então v difere de p por um vetor ortogonal ao plano, ou seja, múltiplo de n. Logo a solução geral é
Passo 5
A componente ortogonal de qualquer v assim é
que é exatamente a parte de v perpendicular ao plano.
Resposta
(a) A matriz da projeção ortogonal é
(b) Os vetores cuja projeção em S é (5,−4,2)^t são
i.e.
i.e.
com t∈ℝ. A componente ortogonal ao plano é