Considere o plano S formado por z=2 x+2 y.
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal do vetor v no plano acima.
b) Encontre v cuja projeção é dada por projS v=(5,-4,2)^t e a sua respectiva componente ortogonal ao plano.

Passo 1

O enunciado pede pra achar a projeção ortogonal de um vetor no plano S dado por z=2x+2y. Na parte (a) vamos encontrar a matriz canônica dessa projeção. Na parte (b) precisamos achar um vetor v cuja projeção em S é (5,−4,2)^t e também determinar sua componente ortogonal ao plano.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o plano na forma implícita
2x+2y−z=0
Dessa forma, um vetor normal ao plano é n=(2,2,−1). Vamos precisar de ||n||^2 para usar a fórmula da projeção.

Passo 3

Para projetar ortogonalmente num plano com normal n usamos
P=I−n,n^T||n||^2
Calculando ||n||^2 temos 22+22+(−1)^2=9. E
n,n^T=4&4&-24&4&-2-2&-2&1
Logo
P=I-194&4&-24&4&-2-2&-2&1 =5/9&-4/9&2/9-4/9&5/9&2/92/9&2/9&8/9

Passo 4

Para a parte (b), seja p=proj_S(v)=(5,−4,2)^t. Como P(v)=p, então v difere de p por um vetor ortogonal ao plano, ou seja, múltiplo de n. Logo a solução geral é
v=p+t,n=(5,-4,2)^t+t,(2,2,-1)^t

Passo 5

A componente ortogonal de qualquer v assim é
v−P(v)=t,n=t,(2,2,-1)^t
que é exatamente a parte de v perpendicular ao plano.

Resposta

(a) A matriz da projeção ortogonal é
P=5/9&-4/9&2/9-4/9&5/9&2/92/9&2/9&8/9
(b) Os vetores cuja projeção em S é (5,−4,2)^t são
i.e.
v=(5,-4,2)^t+t,(2,2,-1)^t,
com t∈ℝ. A componente ortogonal ao plano é
v−P(v)=t,(2,2,-1)^t

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