Sejam os vetores x1^t=(2,4) e x2^t=(3,9) representando duas amostras ordenadas.
a) Construa a matriz A2 times 2 da transformação T(x)=A x que retorne:
-> a diferença entre a maior e a menor observações (amplitude);
-> o valor médio das observações;
b) Mostre que, nesse caso, qualquer que seja o vetor T, estará na imagem de .

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos uma transformação linear T: ℝ²→ℝ² dada por T(x)=A x que calcule (i) a amplitude das duas observações (diferença entre a maior e a menor) e (ii) a média aritmética. O conteúdo aqui é representação matricial de transformação linear e propriedades de invertibilidade de matrizes.

Passo 2

Para obter a primeira componente T₁(x)=amplitude, note que, se x=(x₁,x₂) com x₁≤x₂, então amplitude = x₂−x₁. Podemos escrever isso como combinação linear:
T₁(x)=x₂ - x₁ = (-1),x₁ + (1),x₂

Passo 3

Para obter a segunda componente T₂(x)=média, usamos a fórmula média aritmética de duas observações:
T₂(x)=x₁ + x₂2 = tfrac12,x₁ + tfrac12,x₂

Passo 4

Juntando as duas linhas, a matriz A que satisfaz T(x)=A x é
A = -1 & 1 tfrac12 & tfrac12

Passo 5

Para mostrar que qualquer y=(y₁,y₂)∈ℝ² está na imagem de T, basta ver que det(A)≠0, logo A é inversível e T é sobrejetora. Calculando:
det(A)=(-1)cdottfrac12 - (1)cdottfrac12 = -tfrac12 - tfrac12 = -1 neq 0
Portanto A é invertível e im(T)=ℝ², ou seja, para todo y existe x tal que A x=y.

Resposta

A = -1 & 1 tfrac12 & tfrac12 , e im(T)=ℝ².

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