Sejam os vetores
e
representando duas amostras ordenadas.
a) Construa a matriz
da transformação
que retorne:
-> a diferença entre a maior e a menor observações (amplitude);
-> o valor médio das observações;
b) Mostre que, nesse caso, qualquer que seja o vetor
, estará na imagem de
.
a) Construa a matriz
-> a diferença entre a maior e a menor observações (amplitude);
-> o valor médio das observações;
b) Mostre que, nesse caso, qualquer que seja o vetor
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos uma transformação linear T: ℝ²→ℝ² dada por T(x)=A x que calcule (i) a amplitude das duas observações (diferença entre a maior e a menor) e (ii) a média aritmética. O conteúdo aqui é representação matricial de transformação linear e propriedades de invertibilidade de matrizes.
Passo 2
Para obter a primeira componente T₁(x)=amplitude, note que, se x=(x₁,x₂) com x₁≤x₂, então amplitude = x₂−x₁. Podemos escrever isso como combinação linear:
Passo 3
Para obter a segunda componente T₂(x)=média, usamos a fórmula média aritmética de duas observações:
Passo 4
Juntando as duas linhas, a matriz A que satisfaz T(x)=A x é
Passo 5
Para mostrar que qualquer y=(y₁,y₂)∈ℝ² está na imagem de T, basta ver que det(A)≠0, logo A é inversível e T é sobrejetora. Calculando:
Portanto A é invertível e im(T)=ℝ², ou seja, para todo y existe x tal que A x=y.
Resposta
A =
, e im(T)=ℝ².