Considere o plano formado por x-y+z=0.
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal no plano.
b) Encontre a projeção de v^t=(2,4,-1) e a sua respectiva componente ortogonal ao plano.
c) Ache o vetor w cuja projeção é P w=(1,3,2). Interprete esse resultado.

Passo 1

O enunciado pede para projetar ortogonalmente vetores no plano dado por x − y + z = 0. Vamos usar a teoria de projeção em subespaços: dado um plano com vetor normal n, a projeção ortogonal de qualquer v é dada pela matriz P = I − (n nᵀ)/(nᵀ n).

Passo 2

O vetor normal do plano é n = (1,−1,1). Primeiro calculamos o denominador nᵀ n:
nᵀn = 1^2 + (−1)^2 + 1^2 = 3
Em seguida, o produto externo n nᵀ é
nnᵀ = 1-11(1, -1, 1) = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

Passo 3

Agora montamos a matriz de projeção
P = I - 1nᵀn,nnᵀ = I - 131 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 = 2/3 & 1/3 & -1/3 1/3 & 2/3 & 1/3 -1/3 & 1/3 & 2/3

Passo 4

Para a parte (b), aplicamos P ao vetor v = (2,4,−1):
P v = 2/3 & 1/3 & -1/3 1/3 & 2/3 & 1/3 -1/3 & 1/3 & 2/324-1 = 330
A componente ortogonal é v - P v = (2,4,−1) - (3,3,0) = (−1,1,−1), que é múltiplo do normal.

Passo 5

Na parte ©, queremos w tal que P w = (1,3,2). Como P(w) elimina a componente na direção de n, a solução geral é
w = (1,3,2) + t,n = (1,3,2) + t, (1,-1,1), tin R
Isso mostra que há infinitos w com a mesma projeção: todos diferem por um múltiplo do normal.

Resposta

a) A matriz da projeção ortogonal é
P = 2/3 & 1/3 & -1/3 1/3 & 2/3 & 1/3 -1/3 & 1/3 & 2/3
b) Para v=(2,4,−1),
P v = (3,3,0) e a componente ortogonal é v - P v = (−1,1,−1).
c) Os vetores w tais que P w = (1,3,2) são
w = (1,3,2) + t,(1,−1,1), t∈ℝ,
ou seja, diferem por múltiplos do vetor normal ao plano.

Exercícios relacionados