Considere o plano formado por
.
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal no plano.
b) Encontre a projeção de
e a sua respectiva componente ortogonal ao plano.
c) Ache o vetor w cuja projeção é
. Interprete esse resultado.
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal no plano.
b) Encontre a projeção de
c) Ache o vetor w cuja projeção é
Passo 1
O enunciado pede para projetar ortogonalmente vetores no plano dado por x − y + z = 0. Vamos usar a teoria de projeção em subespaços: dado um plano com vetor normal n, a projeção ortogonal de qualquer v é dada pela matriz P = I − (n nᵀ)/(nᵀ n).
Passo 2
O vetor normal do plano é n = (1,−1,1). Primeiro calculamos o denominador nᵀ n:
Em seguida, o produto externo n nᵀ é
Passo 3
Agora montamos a matriz de projeção
Passo 4
Para a parte (b), aplicamos P ao vetor v = (2,4,−1):
A componente ortogonal é v - P v = (2,4,−1) - (3,3,0) = (−1,1,−1), que é múltiplo do normal.
Passo 5
Na parte ©, queremos w tal que P w = (1,3,2). Como P(w) elimina a componente na direção de n, a solução geral é
Isso mostra que há infinitos w com a mesma projeção: todos diferem por um múltiplo do normal.
Resposta
a) A matriz da projeção ortogonal é
b) Para v=(2,4,−1),
P v = (3,3,0) e a componente ortogonal é v - P v = (−1,1,−1).
c) Os vetores w tais que P w = (1,3,2) são
w = (1,3,2) + t,(1,−1,1), t∈ℝ,
ou seja, diferem por múltiplos do vetor normal ao plano.
P v = (3,3,0) e a componente ortogonal é v - P v = (−1,1,−1).
c) Os vetores w tais que P w = (1,3,2) são
w = (1,3,2) + t,(1,−1,1), t∈ℝ,
ou seja, diferem por múltiplos do vetor normal ao plano.