Considere o plano
de
, onde
é um número real que será escolhido nos itens abaixo:
(a) Se
, responda se plano
é subespaço vetorial de
?
(b) Se
, responda se plano
é subespaço vetorial de
?
(c) No caso do plano ser subespaço vetorial, encontre uma base para ele.
(a) Se
(b) Se
(c) No caso do plano ser subespaço vetorial, encontre uma base para ele.
Passo 1
O enunciado dá o plano
em
e pede para analisar dois casos e, se for subespaço, encontrar uma base. As perguntas específicas são:
- (a) Para
: o conjunto é subespaço vetorial de ? - (b) Para
: o conjunto é subespaço vetorial de ? - (c) Caso o plano seja subespaço, encontrar uma base para ele.
Informações relevantes dadas:
- A equação do plano é
. - Devemos testar a propriedade de subespaço (para cada valor de
) e, se for subespaço, dar uma base explícita.
Passo 2
O que é preciso checar para que um conjunto
seja subespaço vetorial:
- Definição prática:
é subespaço se (i) não é vazio (normalmente checamos se o vetor zero está em ), (ii) para quaisquer temos (fechamento por soma), e (iii) para qualquer e temos (fechamento por multiplicação escalar). - Observação útil (muito usada): se o vetor zero não pertence ao conjunto, então o conjunto não é subespaço. Outra observação: o conjunto de soluções de uma equação linear homogênea (igual a zero) é normalmente um subespaço; se a equação é não-homogênea (igual a constante não nula) normalmente não contém a origem e, portanto, não é subespaço.
Passo 3
Analisando o caso (a),
. O plano é
Teste o vetor zero
: substituindo na equação obtemos
Logo
não pertence ao conjunto.
Passo 4
Conclusão do caso (a): como o vetor zero não está no conjunto, pelo critério necessário o conjunto não é subespaço vetorial de
. Não precisamos checar fechamento por soma ou escalar — já está decidido.
Passo 5
Agora o caso (b),
. O plano é
Primeiro verifique o vetor zero: para
temos
, portanto
. Bom sinal — continua a possibilidade de ser subespaço.
Passo 6
Provar fechamento por soma e por escalar de forma direta (passo a passo didático):
- Seja
e . Então
Somando as duas igualdades obtemos
ou seja,
satisfaz a equação e portanto
. Assim, fechamento por soma vale.
- Seja
e com . Multiplicando por obtemos
logo
. Portanto fechamento por escalares vale.
Como
contém o zero e é fechado para soma e multiplicação escalar,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Agora vamos encontrar uma base de
. Método: parametrizar as soluções da equação linear homogênea
.
- Resolva para
em função de e :
- Use parâmetros
e para e : tome e , com . Então um vetor genérico de é
- Separe em combinação linear dos parâmetros:
Assim todo vetor de
é combinação linear de
e
. Portanto
.
Passo 8
Verificar que os geradores são linearmente independentes (para garantir que formam uma base):
- Considere
. Escrevendo coordenadas:
Da segunda igualdade vem
e daí da primeira
implica
. Então só a combinação trivial leva ao vetor zero, logo são linearmente independentes.
- Como são dois vetores independentes gerando um subespaço de
que claramente não é todo , concluímos que é uma base de e .
Resposta
(a) Não.
(b) Sim.
(c) Uma base é .
(b) Sim.
(c) Uma base é