Considere o plano x-y-5 z=a de \mathbb{R}^{3}, onde a é um número real que será escolhido nos itens abaixo:
(a) Se a=1, responda se plano x-y-5 z=1 é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ?
(b) Se a=0, responda se plano x-y-5 z=1 é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ?
(c) No caso do plano ser subespaço vetorial, encontre uma base para ele.

Passo 1

O enunciado dá o plano x-y-5z=a em \mathbb{R}^{3} e pede para analisar dois casos e, se for subespaço, encontrar uma base. As perguntas específicas são:
  • (a) Para a=1: o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-y-5z=1\} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}?
  • (b) Para a=0: o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-y-5z=0\} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}?
  • (c) Caso o plano seja subespaço, encontrar uma base para ele.
Informações relevantes dadas:
  • A equação do plano é x-y-5z=a.
  • Devemos testar a propriedade de subespaço (para cada valor de a) e, se for subespaço, dar uma base explícita.

Passo 2

O que é preciso checar para que um conjunto W\subseteq\mathbb{R}^{3} seja subespaço vetorial:
  • Definição prática: W é subespaço se (i) W não é vazio (normalmente checamos se o vetor zero (0,0,0) está em W), (ii) para quaisquer u,v\in W temos u+v\in W (fechamento por soma), e (iii) para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e u\in W temos \lambda u\in W (fechamento por multiplicação escalar).
  • Observação útil (muito usada): se o vetor zero não pertence ao conjunto, então o conjunto não é subespaço. Outra observação: o conjunto de soluções de uma equação linear homogênea (igual a zero) é normalmente um subespaço; se a equação é não-homogênea (igual a constante não nula) normalmente não contém a origem e, portanto, não é subespaço.

Passo 3

Analisando o caso (a), a=1. O plano é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-y-5z=1\}.
Teste o vetor zero (0,0,0): substituindo na equação obtemos
0-0-5\cdot 0 = 0 \neq 1.
Logo (0,0,0) não pertence ao conjunto.

Passo 4

Conclusão do caso (a): como o vetor zero não está no conjunto, pelo critério necessário o conjunto não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Não precisamos checar fechamento por soma ou escalar — já está decidido.

Passo 5

Agora o caso (b), a=0. O plano é
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-y-5z=0\}.
Primeiro verifique o vetor zero: para (0,0,0) temos 0-0-5\cdot 0=0, portanto (0,0,0)\in W. Bom sinal — continua a possibilidade de ser subespaço.

Passo 6

Provar fechamento por soma e por escalar de forma direta (passo a passo didático):
  • Seja u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Então
x_1-y_1-5z_1=0\quad\text{e}\quad x_2-y_2-5z_2=0.
Somando as duas igualdades obtemos
(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-5(z_1+z_2)=0,
ou seja, u+v satisfaz a equação e portanto u+v\in W. Assim, fechamento por soma vale.
  • Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1,z_1)\in W com x_1-y_1-5z_1=0. Multiplicando por \lambda obtemos
(\lambda x_1)-(\lambda y_1)-5(\lambda z_1)=\lambda(x_1-y_1-5z_1)=\lambda\cdot 0=0,
logo \lambda u\in W. Portanto fechamento por escalares vale.
Como W contém o zero e é fechado para soma e multiplicação escalar, W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Agora vamos encontrar uma base de W. Método: parametrizar as soluções da equação linear homogênea x-y-5z=0.
  • Resolva para x em função de y e z:
x = y + 5z.
  • Use parâmetros s e t para y e z: tome y=s e z=t, com s,t\in\mathbb{R}. Então um vetor genérico de W é
(x,y,z) = (s+5t,\, s,\, t).
  • Separe em combinação linear dos parâmetros:
(s+5t,\, s,\, t)= s(1,1,0) + t(5,0,1).
Assim todo vetor de W é combinação linear de (1,1,0) e (5,0,1). Portanto W=\text{span}\{(1,1,0),(5,0,1)\}.

Passo 8

Verificar que os geradores são linearmente independentes (para garantir que formam uma base):
  • Considere \alpha(1,1,0)+\beta(5,0,1)=(0,0,0). Escrevendo coordenadas:
\alpha + 5\beta = 0,\quad \alpha = 0,\quad \beta = 0.
Da segunda igualdade vem \alpha=0 e daí da primeira 5\beta=0 implica \beta=0. Então só a combinação trivial leva ao vetor zero, logo são linearmente independentes.
  • Como são dois vetores independentes gerando um subespaço de \mathbb{R}^{3} que claramente não é todo \mathbb{R}^{3}, concluímos que \{(1,1,0),(5,0,1)\} é uma base de W e \dim W=2.

Resposta

(a) Não.
(b) Sim.
(c) Uma base é \{(1,1,0),(5,0,1)\}.

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