Dado W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+2 y+z=0\right\} encontre um subespaço W_{2} tal que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}. Dê exemplos de W_{1} e W_{2} tais que \operatorname{dim} W_{1}= \operatorname{dim} W_{2}=2 e W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}. A soma é direta?

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x+2y+z=0\}
e pede:
  1. encontrar um subespaço W_{2} tal que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3};
  2. dar exemplos de W_{1} e W_{2} com \dim W_{1}=\dim W_{2}=2 e W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3};
  3. dizer se a soma é direta (isto é, se W_{1}\oplus W_{2}=\mathbb{R}^{3}).\n
    Informações relevantes dadas:
  • A equação linear x+2y+z=0 define W_{1}.
  • Trabalhamos em \mathbb{R}^{3}.
  • Devemos fornecer exemplos concretos de subespaços W_{2} que satisfazem as condições acima.

Passo 2

Vou entender melhor W_{1}: quero descrever W_{1} por parâmetros e encontrar uma base (isso ajuda a raciocinar sobre soma e dimensão). Da equação
x+2y+z=0
posso escrever x=-2y-z. Fizendo y=s e z=t com s,t\in\mathbb{R}, qualquer vetor de W_{1} é
(x,y,z)=(-2s-t,\; s,\; t)=s(-2,1,0)+t(-1,0,1).
Logo os vetores (-2,1,0) e (-1,0,1) geram W_{1}. Eles são linearmente independentes (verificação: nenhum é múltiplo do outro), portanto formam uma base. Concluímos que
\dim W_{1}=2,\qquad W_{1}=\operatorname{span}\{(-2,1,0),\;(-1,0,1)\}.

Passo 3

Estratégia para achar um W_{2} com W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}:
  • Se W_{1} tem dimensão 2 (um plano), basta tomar W_{2} gerado por um vetor que não esteja em W_{1} (ou seja, uma reta não contida no plano). Então a soma W_{1}+W_{2} terá dimensão 3 e, portanto, será todo \mathbb{R}^{3}.
    Explicação curta do porquê: para subespaços U,V vale a fórmula
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).
Se \dim U=2 e V é uma reta (dim 1) que não está contida em U, então U\cap V=\{0\} e \dim(U+V)=2+1-0=3.

Passo 4

Escolho um exemplo simples: W_{2}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\} (reta ao longo do eixo z).
Primeiro verifico que (0,0,1)\notin W_{1}: substituir em x+2y+z 0+0+1=1\neq0, logo não pertence a W_{1}. Assim W_{2} não está contido em W_{1}.
Agora mostro que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}. Seja um vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}. Procuro s,t,\alpha\in\mathbb{R} tais que
(-2s-t,\; s,\; t)+\alpha(0,0,1)=(a,b,c).
Comparando coordenadas:
-2s-t=a,\qquad s=b,\qquad t+\alpha=c.
Da segunda equação vem s=b. Da primeira obtemos t=-2b-a. Então da terceira \alpha=c-t=c-(-2b-a)=a+2b+c. Como sempre existem s,t,\alpha reais, qualquer (a,b,c) é soma de um vetor em W_{1} e de um vetor em W_{2}. Logo
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.
Observação: aqui W_{2} tem dimensão 1.

Passo 5

Agora dou exemplos onde \dim W_{1}=\dim W_{2}=2. Podemos tomar o W_{1} original e escolher um plano W_{2} que não coincida com W_{1}. Um exemplo muito simples é
W_{2}=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^{3}\}=\operatorname{span}\{(1,0,0),\;(0,1,0)\},
ou seja, o plano z=0. Claramente \dim W_{2}=2.

Passo 6

Calculo a interseção W_{1}\cap W_{2}. Um vetor em W_{2} tem a forma (x,y,0). Para estar em W_{1} deve satisfazer x+2y+z=0, com z=0, ou seja x+2y=0. Portanto
W_{1}\cap W_{2}=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^{3}: x+2y=0\}=\{(-2t,t,0):t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(-2,1,0)\}.
Logo \dim(W_{1}\cap W_{2})=1.

Passo 7

Aplico a fórmula da dimensão da soma:
\dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2})=2+2-1=3.
Como \dim(W_{1}+W_{2})=3 e \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, concluímos W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 8

Sobre a soma ser direta: a soma W_{1}\oplus W_{2} é definida quando W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Nos exemplos:
  • No caso com W_{2}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\} a interseção é \{0\} (porque a reta no eixo z não corta o plano x+2y+z=0 senão em 0), então ali a soma é direta e temos W_{1}\oplus W_{2}=\mathbb{R}^{3}.
  • No exemplo com W_{2}=\{(x,y,0)\} a interseção é a reta \operatorname{span}\{(-2,1,0)\}, que não é \{0\}. Portanto nessa escolha a soma não é direta.

Resposta

W_{2}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\} funciona e satisfaz W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.\n
Exemplo com \dim W_{1}=\dim W_{2}=2: W_{1}=\{(x,y,z):x+2y+z=0\} e W_{2}=\{(x,y,0)\}; aí W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.\n
A soma é direta no primeiro exemplo (reta não contida em W_{1}), mas não é direta no segundo exemplo (porque W_{1}\cap W_{2}=\operatorname{span}\{(-2,1,0)\}\neq\{0\}).

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