Dado
encontre um subespaço
tal que
. Dê exemplos de
e
tais que
e
. A soma é direta?
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
e pede:
- encontrar um subespaço
tal que ; - dar exemplos de
e com e ; - dizer se a soma é direta (isto é, se
).\n
Informações relevantes dadas:
- A equação linear
define . - Trabalhamos em
. - Devemos fornecer exemplos concretos de subespaços
que satisfazem as condições acima.
Passo 2
Vou entender melhor
: quero descrever
por parâmetros e encontrar uma base (isso ajuda a raciocinar sobre soma e dimensão). Da equação
posso escrever
. Fizendo
e
com
, qualquer vetor de
é
Logo os vetores
e
geram
. Eles são linearmente independentes (verificação: nenhum é múltiplo do outro), portanto formam uma base. Concluímos que
Passo 3
Estratégia para achar um
com
:
- Se
tem dimensão (um plano), basta tomar gerado por um vetor que não esteja em (ou seja, uma reta não contida no plano). Então a soma terá dimensão e, portanto, será todo .
Explicação curta do porquê: para subespaçosvale a fórmula
Se
e
é uma reta (dim
) que não está contida em
, então
e
.
Passo 4
Escolho um exemplo simples:
(reta ao longo do eixo
).
Primeiro verifico que : substituir em
dá
, logo não pertence a
. Assim
não está contido em
.
Agora mostro que . Seja um vetor arbitrário
. Procuro
tais que
Primeiro verifico que
Agora mostro que
Comparando coordenadas:
Da segunda equação vem
. Da primeira obtemos
. Então da terceira
. Como sempre existem
reais, qualquer
é soma de um vetor em
e de um vetor em
. Logo
Observação: aqui
tem dimensão
.
Passo 5
Agora dou exemplos onde
. Podemos tomar o
original e escolher um plano
que não coincida com
. Um exemplo muito simples é
ou seja, o plano
. Claramente
.
Passo 6
Calculo a interseção
. Um vetor em
tem a forma
. Para estar em
deve satisfazer
, com
, ou seja
. Portanto
Logo
.
Passo 7
Aplico a fórmula da dimensão da soma:
Como
e
tem dimensão
, concluímos
.
Passo 8
Sobre a soma ser direta: a soma
é definida quando
. Nos exemplos:
- No caso com
a interseção é (porque a reta no eixo não corta o plano senão em ), então ali a soma é direta e temos . - No exemplo com
a interseção é a reta , que não é . Portanto nessa escolha a soma não é direta.
Resposta
Exemplo com
A soma é direta no primeiro exemplo (reta não contida em