Questão 6: Análise de Crescimento da Função Custo. Dada a função custo
50, mostre que tal função é sempre crescente para
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a função custo
é sempre crescente para
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
domínio de interesse:
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para saber se uma função é crescente usamos a sua derivada. A derivada
representa a taxa de variação instantânea de
em relação a
: se
para todos os
do intervalo, então
é crescente aí; se
para todos os
do intervalo, então
é estritamente crescente. Portanto vamos calcular
e estudar seu sinal para
.
Passo 3
Cálculo da derivada termo a termo (lembrando a regra:
e
,
):
derivada de
é
;
derivada de é
;
derivada de é
;
derivada de é
.
derivada de
derivada de
derivada de
Portanto
Passo 4
Interpretando
como uma quadrática
com
Propriedade útil: uma quadrática
com
é sempre positiva (ou sempre
) em
se o discriminante
for negativo. Então vamos calcular
para
.
Passo 5
Cálculo do discriminante (usando
para exatidão):
Agora as contas passo a passo:
logo
Como
e
, a quadrática
não tem raízes reais e é positiva para todo
.
Passo 6
Conclusão sobre o sinal de
: visto que
é uma quadrática com
e
, temos
para todo
, portanto em particular para todo
. Para ver um número que descreve o mínimo de
, podemos usar a fórmula do valor mínimo de uma quadrática:
. Calculando:
Portanto o menor valor de
é
, positivo, o que confirma que
para todo
e que
é estritamente crescente em todo o eixo real (e, consequentemente, em
).
Resposta
A função
é estritamente crescente para
.