Questão 6: Análise de Crescimento da Função Custo. Dada a função custo \mathbf{C}(\mathbf{x})=\mathbf{0 , 1} \mathbf{x}^{\mathbf{3}}-\mathbf{4} \mathbf{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{7 0 x}+ 50, mostre que tal função é sempre crescente para x \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a função custo
C(x)=0{,}1x^{3}-4x^{2}+70x+50
é sempre crescente para x\ge 0.
Informações relevantes dadas:
C(x)=0{,}1x^{3}-4x^{2}+70x+50,
domínio de interesse: x\ge 0.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para saber se uma função é crescente usamos a sua derivada. A derivada C'(x) representa a taxa de variação instantânea de C em relação a x: se C'(x)\ge 0 para todos os x do intervalo, então C é crescente aí; se C'(x)>0 para todos os x do intervalo, então C é estritamente crescente. Portanto vamos calcular C'(x) e estudar seu sinal para x\ge 0.

Passo 3

Cálculo da derivada termo a termo (lembrando a regra: \frac{d}{dx}(k x^n)=k n x^{n-1} e \frac{d}{dx}(k x)=k, \frac{d}{dx}(\text{constante})=0):
derivada de 0{,}1x^{3} é 3\cdot0{,}1x^{2}=0{,}3x^{2};
derivada de -4x^{2} é -8x;
derivada de 70x é 70;
derivada de 50 é 0.
Portanto
C'(x)=0{,}3x^{2}-8x+70.

Passo 4

Interpretando C'(x) como uma quadrática ax^{2}+bx+c com
a=0{,}3,\quad b=-8,\quad c=70.
Propriedade útil: uma quadrática ax^{2}+bx+c com a>0 é sempre positiva (ou sempre \ge 0) em \mathbb{R} se o discriminante \Delta=b^{2}-4ac for negativo. Então vamos calcular \Delta para C'(x).

Passo 5

Cálculo do discriminante (usando a=\dfrac{3}{10} para exatidão):
\Delta=b^{2}-4ac = (-8)^{2}-4\cdot\frac{3}{10}\cdot 70.
Agora as contas passo a passo:
(-8)^{2}=64,
4\cdot\frac{3}{10}\cdot 70 = \frac{12}{10}\cdot 70 = \frac{6}{5}\cdot 70 = 84,
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\Delta = 64-84 = -20.
Como \Delta=-20<0 e a=0{,}3>0, a quadrática C'(x) não tem raízes reais e é positiva para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Conclusão sobre o sinal de C'(x): visto que C'(x) é uma quadrática com a>0 e \Delta<0, temos C'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, portanto em particular para todo x\ge 0. Para ver um número que descreve o mínimo de C'(x), podemos usar a fórmula do valor mínimo de uma quadrática: \min C'(x) = -\dfrac{\Delta}{4a}. Calculando:
\min C'(x) = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{-20}{4\cdot\frac{3}{10}} = \frac{20}{\frac{12}{10}} = \frac{20\cdot 10}{12} = \frac{200}{12} = \frac{50}{3}>0.
Portanto o menor valor de C'(x) é \dfrac{50}{3}, positivo, o que confirma que C'(x)>0 para todo x e que C é estritamente crescente em todo o eixo real (e, consequentemente, em x\ge 0).

Resposta

A função C(x)=0{,}1x^{3}-4x^{2}+70x+50 é estritamente crescente para x\ge 0.

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