Considere os planos pi1: 2 x-3 y-z=1 e pi2: x+y-z=0.
(a) Ache r=pi1 cap pi2;
(b) determine a equação paramétrica da reta s1, que passa pelo ponto P=(2,1,2) e é paralela a ambos os planos;
(c) determine a equação paramétrica da reta s2 que passa pelo ponto P=(2,1,2) e intercepta r perpendicularmente.

Passo 1

O enunciado apresenta dois planos
pi1:2x-3y-z=1 e pi2:x+y-z=0.
Em (a) queremos a reta r=pi1cappi2, que é a interseção dos dois planos; isso se obtém resolvendo o sistema linear dado pelas duas equações.
Em (b) buscamos a reta s1 que passa pelo ponto P=(2,1,2) e é paralela a ambos os planos; uma reta paralela a um plano tem direção ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para ser paralela a pi1 e a pi2, sua direção deve anular o produto escalar com os dois vetores normais.
Em (c) queremos a reta s2 que passa por P e intercepta r perpendicularmente; isso é a perpendicular de ponto a reta, e a obtemos projetando P sobre r.

Passo 2

Para achar
Da segunda equação vem , obtemos
Assim, uma equação paramétrica para é

Passo 3

Os vetores normais são
n1=(2,-3,-1) e n2=(1,1,-1).
Uma reta paralela a ambos os planos deve ter direção v tal que
n1cdotv=0 e n2cdotv=0.
Isso coincide com a direção da interseção r, ou seja v=(4,1,5).
Como s1 passa por P=(2,1,2), sua forma paramétrica é
s1:;(x,y,z)=(2,1,2)+u,(4,1,5),
ou seja
x=2+4u, y=1+u, z=2+5u

Passo 4

Para a reta s2 perpendicular a r passando por P, encontramos primeiro o ponto Q de r que é o pé da perpendicular de P em r. Seja A=(1,0,1) um ponto de r e v=(4,1,5) seu vetor diretor. Então
t0=vcdot(P-A)vcdotv =(4,1,5)cdot(2-1,,1-0,,2-1)4^2+1^2+5^2 =4cdot1+1cdot1+5cdot142 =1042 =521
Logo
Q=A+t0v =l(1,0,1r)+521,(4,1,5) =l(tfrac4121,,tfrac521,,tfrac4621r)
O vetor direção de s2 é PQ=Q-P, que dá, após multiplicar por 21, (-1,-16,4). Assim,
s2:;(x,y,z)=(2,1,2)+w,(-1,-16,4),
isto é
x=2-w, y=1-16w, z=2+4w

Resposta

(a)
r:;(x,y,z)=(1,0,1)+t,(4,1,5)
(b)
s1:;(x,y,z)=(2,1,2)+u,(4,1,5)
(c)
s2:;(x,y,z)=(2,1,2)+w,(-1,-16,4)

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