Considere os planos e .
(a) Ache ;
(b) determine a equação paramétrica da reta , que passa pelo ponto e é paralela a ambos os planos;
(c) determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto e intercepta perpendicularmente.
Passo 1
O enunciado apresenta dois planos e .
Em (a) queremos a reta , que é a interseção dos dois planos; isso se obtém resolvendo o sistema linear dado pelas duas equações.
Em (b) buscamos a reta que passa pelo ponto e é paralela a ambos os planos; uma reta paralela a um plano tem direção ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para ser paralela a e a , sua direção deve anular o produto escalar com os dois vetores normais.
Em (c) queremos a reta que passa por e intercepta perpendicularmente; isso é a perpendicular de ponto a reta, e a obtemos projetando sobre .
Passo 2
Para achar
Da segunda equação vem , obtemos
Assim, uma equação paramétrica para é
Passo 3
Os vetores normais são e .
Uma reta paralela a ambos os planos deve ter direção tal que e .
Isso coincide com a direção da interseção , ou seja .
Como passa por , sua forma paramétrica é
ou seja
Passo 4
Para a reta s2 perpendicular a r passando por P, encontramos primeiro o ponto Q de r que é o pé da perpendicular de P em r. Seja A=(1,0,1) um ponto de r e v=(4,1,5) seu vetor diretor. Então