Sejam dadas as retas r(t)=(1+t, t,-1+t) e o plano pi: x+z=2.
(a) Encontre as coordenadas do ponto P=r cap pi;
(b) ache uma equação paramétrica da reta s, projeção ortogonal da reta r sobre o plano pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r(t) = (1+t,;t,;-1+t)
e o plano
pi:;x+z=2
Queremos (a) o ponto de interseção P=rcappi e (b) a reta s, projeção ortogonal de r sobre pi. Para isso vamos usar:
  1. Substituir as coordenadas de r(t) em x+z=2 para achar t.
  2. Determinar a projeção do vetor diretor de r sobre o plano pi.
  3. Escolher um ponto de r na projeção (por exemplo o próprio P, que já está em pi).

Passo 2

Substituir em pi as coordenadas de r(t):
x+z = (1+t)+(-1+t) = 2t
Para interseção precisa 2t=2, logo
t=1
O ponto P é
P = r(1) = (1+1,;1,;-1+1) = (2,,1,,0)

Passo 3

O vetor diretor de r é
v = (1,,1,,1)
O normal de pi é
n = (1,,0,,1)
A projeção ortogonal de v em pi é
v' = v - vcdot n ncdot n, n
Calculamos
vcdot n = 1cdot1 + 1cdot0 + 1cdot1 = 2, ncdot n = 1^2+0^2+1^2=2,
logo
v' = (1,1,1) - 22(1,0,1) = (1,1,1) - (1,0,1) = (0,1,0)

Passo 4

Como P já está em pi, sua projeção é ele mesmo. Então um ponto de s é
P = (2,,1,,0)

Passo 5

A reta s passa por P e tem vetor diretor v'=(0,1,0). Uma equação paramétrica é
s(u) = (2,,1,,0) + u,(0,,1,,0) = (2,;1+u,;0)

Resposta

(a) P=(2,,1,,0)
(b) s(u) = (2,;1+u,;0)

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