Quais dos seguintes subconjuntos
abaixo são subespaços? Caso a resposta seja afirmativa, determine a dimensão de
.
e
.
Passo 1
O enunciado define
Queremos ver se
é subespaço de
. Para isso precisamos que (i) o vetor zero esteja em
, (ii)
seja fechado para soma e (iii)
seja fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
A condição
equivale a
E a condição
nos diz que qualquer vetor de
é da forma
Passo 3
Verificamos o vetor zero: tomando
,
,
temos
logo o zero está em
.
Passo 4
Fechamento para soma: sejam
e
em
. Como
e
, então
. Logo a soma é
que também satisfaz as condições, portanto
é fechado para soma.
Passo 5
Fechamento para escalar: tome
e um vetor qualquer
com
. Então
Nesse vetor o primeiro componente é
, mas
. Portanto
, o que mostra que
não é fechado para multiplicação por escalar.