Quais dos seguintes subconjuntos W abaixo são subespaços? Caso a resposta seja afirmativa, determine a dimensão de W.
W=(x, y, z, w) in R^4: z=-x e |x|=x.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,w)inR^4 : z=-x e |x|=x
Queremos ver se W é subespaço de R^4. Para isso precisamos que (i) o vetor zero esteja em W, (ii) W seja fechado para soma e (iii) W seja fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

A condição |x|=x equivale a
x>=0
E a condição z=-x nos diz que qualquer vetor de W é da forma
(x,y,-x,w)com x>=0,;yinR,;winR

Passo 3

Verificamos o vetor zero: tomando x=0, y=0, w=0 temos
(0,0,-0,0)=(0,0,0,0)in W,
logo o zero está em W.

Passo 4

Fechamento para soma: sejam
(x1,y1,-x1,w1) e (x2,y2,-x2,w2) em W. Como x1>=0 e x2>=0, então x1+x2>=0. Logo a soma é
(x1+x2,;y1+y2,;-(x1+x2),;w1+w2),
que também satisfaz as condições, portanto W é fechado para soma.

Passo 5

Fechamento para escalar: tome lambda=-1 e um vetor qualquer (x,y,-x,w)in W com x>0. Então
lambda,(x,y,-x,w)=(-x,-y,x,-w)
Nesse vetor o primeiro componente é -x<0, mas |-x|neq -x. Portanto (-x,-y,x,-w)notin W, o que mostra que W não é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^4.

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