Considere que os pneus de um carro e de uma bicicleta são feitos de uma mesma borracha, que quebra na tensão crítica
\sigma_{c}. Os raios dos pneus do carro e da bicicleta são, respectivamente, R e r. Quais são as pressões máximas que os pneus podem ser calibrados?
Questão 4: Pneu II
Considerando que os raios dos pneus do carro e da bicicleta são, respectivamente, R e r. Dando a tensão crítica \sigma_{c}, os pneus estão calibrados com as pressões máximas. Para suportar um peso de M, considere aceleração gravitacional \vec{g} e calcule as deformações do pneu nos dois casos.
Dica: Considere que o contato entre a parte inferior do pneu e o chão é uma seção de reta horizontal.

Passo 1

O enunciado pergunta primeiro qual a pressão máxima p que pode ser aplicada em cada pneu de raio R (carro) e r (bicicleta) antes de a borracha atingir sua tensão crítica \sigma_{c}. Em seguida, para cada pneu calibrado nessa pressão máxima, pede‐se a deflexão vertical \delta do pneu quando ele suporta um peso M (com aceleração da gravidade g). Vamos modelar o pneu como um anel delgado de espessura de parede h (igual nos dois casos), usar a fórmula da tensão circunferencial num tubo fino sob pressão interna e depois aproximar a região de contato com o chão por um trecho de reta (chordalizing).

Passo 2

Para um anel fino de raio interno R e espessura de parede h, a tensão circunferencial (hoop stress) em regime estático sob pressão interna p é
\sigma \;=\;\frac{p\,R}{h}.
A borracha quebra quando \sigma=\sigma_{c}. Logo a pressão máxima admissível no pneu do carro é
p_{\mathrm{max},\,\mathrm{carro}} =\frac{\sigma_{c}\,h}{R},
e, de modo análogo, no pneu da bicicleta
p_{\mathrm{max},\,\mathrm{bike}} =\frac{\sigma_{c}\,h}{r}.

Passo 3

Agora, considere o pneu calibrado em p_{\mathrm{max}} que sustenta verticalmente o peso M. A região de contato com o chão forma uma seção de reta de comprimento l (largura do pneu considerada unitária). O equilíbrio vertical exige
p_{\mathrm{max}}\times l = M\,g \quad\Longrightarrow\quad l = \frac{M\,g}{p_{\mathrm{max}}}.
Geométrica­mente, essa reta de comprimento l é o “chord” que substitui um arco de círculo de raio R “achatado” de altura \delta. A relação entre chord l e flecha \delta (para \delta\ll R) é
l \approx 2\sqrt{2\,R\,\delta} \quad\Longrightarrow\quad \delta \approx \frac{l^{2}}{8\,R}.

Passo 4

Substituindo l=M g/p_{\mathrm{max}} na expressão de \delta, obtemos
\delta \approx \frac{1}{8\,R}\,\Bigl(\frac{M\,g}{p_{\mathrm{max}}}\Bigr)^{2} =\frac{(M\,g)^{2}}{8\,R\,p_{\mathrm{max}}^{2}}.
Usando p_{\mathrm{max},\mathrm{carro}}=\sigma_{c}h/R, a deflexão do pneu do carro é
\delta_{\mathrm{carro}} =\frac{(M\,g)^{2}}{8\,R}\, \Bigl(\frac{R}{\sigma_{c}\,h}\Bigr)^{2} =\frac{(M\,g)^{2}\,R}{8\,\sigma_{c}^{2}\,h^{2}}.
E, para a bicicleta, com p_{\mathrm{max},\mathrm{bike}}=\sigma_{c}h/r,
\delta_{\mathrm{bike}} =\frac{(M\,g)^{2}}{8\,r}\, \Bigl(\frac{r}{\sigma_{c}\,h}\Bigr)^{2} =\frac{(M\,g)^{2}\,r}{8\,\sigma_{c}^{2}\,h^{2}}.

Resposta

Pressão máxima no pneu do carro:
p_{\mathrm{max},\,\mathrm{carro}}=\frac{\sigma_{c}\,h}{R},
no pneu da bicicleta:
p_{\mathrm{max},\,\mathrm{bike}}=\frac{\sigma_{c}\,h}{r}.
Deflexão quando suportam peso M:
\delta_{\mathrm{carro}} =\frac{(M\,g)^{2}\,R}{8\,\sigma_{c}^{2}\,h^{2}}, \qquad \delta_{\mathrm{bike}} =\frac{(M\,g)^{2}\,r}{8\,\sigma_{c}^{2}\,h^{2}}.

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