Considere o polinômio f=x^{4}-25 \in \mathbb{Q}[x].
(a) ( 0,75 ponto) Calcule todas as raízes de f.
(b) ( 0,75 ponto) Sejam \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} e \alpha_{4} as raízes de f encontradas no item anterior. Sabemos que o corpo de decomposição de f é o corpo \operatorname{Gal}(f, \mathbb{Q})=\mathbb{Q}\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right]. Encontre \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbb{C} de modo que \operatorname{Gal}(f, \mathbb{Q})=\mathbb{Q}\left[\beta_{1}, \beta_{2}\right]; isto é, reduza a extensão de quatro adjunções para apenas duas.
(c) (0,75 ponto) Reduza a extensão anterior para apenas uma adjunção. Ou seja, encontre \gamma \in \mathbb{C} de modo que \operatorname{Gal}(f, \mathbb{Q})=\mathbb{Q}[\gamma].

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f=x^{4}-25\in\mathbb{Q}[x] e faz três perguntas claras:
  • (a) Calcular todas as raízes de f.
  • (b) Denotando por \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} as raízes do item (a), saber que o corpo de decomposição (campo gerado por todas as raízes) é \mathbb{Q}[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}]. Encontrar \beta_{1},\beta_{2}\in\mathbb{C} tais que o mesmo corpo seja \mathbb{Q}[\beta_{1},\beta_{2}] (ou seja, reduzir quatro adjunções para duas).
  • (c) Encontrar \gamma\in\mathbb{C} tal que o corpo de decomposição seja \mathbb{Q}[\gamma] (reduzir as duas adjunções para apenas uma).
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos:
  • O polinômio é f(x)=x^{4}-25.
  • Trabalhamos sobre o corpo dos racionais \mathbb{Q}.
  • Precisamos do corpo de decomposição (campo gerado por todas as raízes) e de geradores explícitos (duas adjunções e depois uma adjunção).

Passo 2

Vamos fatorar f e achar as raízes. Note que f é uma diferença de quadrados com x^{4}-(5)^{2}. Escrevemos:
x^{4}-25=(x^{2})^{2}-5^{2}=(x^{2}-5)(x^{2}+5).
Cada fator quadrático dá duas raízes ao resolver igual a zero.
Resolver x^{2}-5=0
x=\pm\sqrt{5}.
Resolver x^{2}+5=0
x=\pm\sqrt{-5}=\pm i\sqrt{5}.
Aqui usei a notação i=\sqrt{-1}. Portanto as quatro raízes são \pm\sqrt{5} e \pm i\sqrt{5}. Vou explicitar de forma clara no próximo passo.

Passo 3

Listando explicitamente as raízes (resposta do item (a)):
As raízes de f são
\alpha_{1}=\sqrt{5},\qquad \alpha_{2}=-\sqrt{5},\qquad \alpha_{3}=i\sqrt{5},\qquad \alpha_{4}=-i\sqrt{5}.
Comentário didático rápido: cada raiz apareceu porque os fatores x^{2}-5 e x^{2}+5 se anulam nesses valores. Assim já resolvemos (a).

Passo 4

Agora queremos reduzir as quatro adjunções \mathbb{Q}[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}] para apenas duas adjunções. Vou explicar o que significa:
  • Adicionar uma raiz \sqrt{5} ao corpo \mathbb{Q} gera \mathbb{Q}(\sqrt{5}), que contém tanto \sqrt{5} quanto -\sqrt{5} (pois -\sqrt{5}=-1\cdot\sqrt{5} e -1\in\mathbb{Q}).
  • Adicionar i ao corpo \mathbb{Q} gera \mathbb{Q}(i), que contém i e -i.
  • Se eu faço as duas adjunções \mathbb{Q}(\sqrt{5},i), esse corpo contém produtos e combinações racionais, então contém i\sqrt{5} porque i\sqrt{5}=i\cdot\sqrt{5}.
Portanto uma escolha natural de dois geradores é
\beta_{1}=\sqrt{5},\qquad \beta_{2}=i.
Vou mostrar formalmente que com esses dois já obtemos todas as raízes e que nada mais é necessário.

Passo 5

Mostrar que \mathbb{Q}(\beta_{1},\beta_{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i) é o corpo de decomposição.
  1. \mathbb{Q}(\sqrt{5},i) contém \sqrt{5} e i por construção, logo contém -\sqrt{5} e \pm i\sqrt{5} (pois -\sqrt{5}=-1\cdot\sqrt{5} e i\sqrt{5}=i\cdot\sqrt{5}). Assim \mathbb{Q}(\sqrt{5},i) contém todas as raízes \alpha_{1},\dots,\alpha_{4}. Logo a extensão que gera todas as raízes está contida em \mathbb{Q}(\sqrt{5},i).
  2. Por outro lado, o corpo de decomposição é, por definição, o menor corpo que contém \mathbb{Q} e todas as raízes; como \mathbb{Q}(\sqrt{5},i) contém todas as raízes, a igualdade segue: o corpo de decomposição é exatamente \mathbb{Q}(\sqrt{5},i).
Portanto para o item (b) podemos tomar
\beta_{1}=\sqrt{5},\qquad \beta_{2}=i,
e obter \operatorname{Gal}(f,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}[\beta_{1},\beta_{2}]=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i).
Observação didática: às vezes o enunciado escreve \mathbb{Q}[\dots] mas, neste contexto, significa o corpo gerado pelos elementos; eu usei a notação \mathbb{Q}(\dots) que é a usual para corpos gerados por adjunções. Também poderia ter escolhido \beta_{2}=i\sqrt{5} e \beta_{1}=\sqrt{5}; são equivalentes em termos de gerar o mesmo corpo, pois i=\dfrac{i\sqrt{5}}{\sqrt{5}} e divisão por \sqrt{5} é válida dentro de um corpo que contenha \sqrt{5}.

Passo 6

Agora vamos reduzir tudo para apenas uma adjunção (item (c)). Queremos um \gamma tal que
\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)=\mathbb{Q}(\gamma).
Uma forma construtiva é escolher \gamma que “misture” as duas quantidades de modo que, a partir de \gamma, consigamos recuperar tanto i quanto \sqrt{5}.
Um palpite eficaz é
\gamma=\sqrt{5}+i\sqrt{5}=\sqrt{5}(1+i).
Vou mostrar que com esse \gamma conseguimos obter i e \sqrt{5}, daí \mathbb{Q}(\gamma) conterá \mathbb{Q}(\sqrt{5},i) e, por minimalidade, serão iguais.

Passo 7

Calcular \gamma^{2} e extrair i e \sqrt{5}.
Compute:
\gamma=\sqrt{5}(1+i)\quad\Rightarrow\quad \gamma^{2}=5(1+i)^{2}.
Agora expandimos (1+i)^{2}:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i.
Então
\gamma^{2}=5\cdot 2i=10i.
Assim obtemos explicitamente
i=\frac{\gamma^{2}}{10}\in\mathbb{Q}(\gamma).
Como i\in\mathbb{Q}(\gamma), temos 1+i\in\mathbb{Q}(\gamma). Como \gamma=\sqrt{5}(1+i) e 1+i\in\mathbb{Q}(\gamma), podemos isolar
\sqrt{5}=\frac{\gamma}{1+i}\in\mathbb{Q}(\gamma).
Logo \sqrt{5}\in\mathbb{Q}(\gamma) também. Portanto \mathbb{Q}(\gamma) contém i e \sqrt{5}, isto é,
\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)\subseteq\mathbb{Q}(\gamma).
A outra inclusão \mathbb{Q}(\gamma)\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{5},i) é óbvia porque \gamma=\sqrt{5}(1+i) e o lado direito contém \sqrt{5} e i. Assim há igualdade:
\mathbb{Q}(\gamma)=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i).

Passo 8

Resumo didático e motivador: escolhemos \gamma=\sqrt{5}+i\sqrt{5} porque sua quadrado dá 10i, permitindo extrair i diretamente. Uma vez que i está em \mathbb{Q}(\gamma), também fica fácil recuperar \sqrt{5} dividindo \gamma por 1+i. Isso é um truque prático para construir um gerador único (elemento primitivo) explicitamente; a teoria geral (teorema do elemento primitivo) garante que na maioria dos casos compostos de extensões finitas sobre \mathbb{Q} existe tal elemento, mas aqui demos a construção concreta.

Resposta

(a) \sqrt{5},\; -\sqrt{5},\; i\sqrt{5},\; -i\sqrt{5}.
(b) \beta_{1}=\sqrt{5},\; \beta_{2}=i, pois \operatorname{Gal}(f,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i).
(c) \gamma=\sqrt{5}+i\sqrt{5}, pois \operatorname{Gal}(f,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}(\gamma).

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