Considere o polinômio
.
(a) ( 0,75 ponto) Calcule todas as raízes de
.
(b) ( 0,75 ponto) Sejam
e
as raízes de
encontradas no item anterior. Sabemos que o corpo de decomposição de
é o corpo
. Encontre
de modo que
; isto é, reduza a extensão de quatro adjunções para apenas duas.
(c) (0,75 ponto) Reduza a extensão anterior para apenas uma adjunção. Ou seja, encontre
de modo que
.
(a) ( 0,75 ponto) Calcule todas as raízes de
(b) ( 0,75 ponto) Sejam
(c) (0,75 ponto) Reduza a extensão anterior para apenas uma adjunção. Ou seja, encontre
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e faz três perguntas claras:
- (a) Calcular todas as raízes de
. - (b) Denotando por
as raízes do item (a), saber que o corpo de decomposição (campo gerado por todas as raízes) é . Encontrar tais que o mesmo corpo seja (ou seja, reduzir quatro adjunções para duas). - (c) Encontrar
tal que o corpo de decomposição seja (reduzir as duas adjunções para apenas uma).
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos:
- O polinômio é
. - Trabalhamos sobre o corpo dos racionais
. - Precisamos do corpo de decomposição (campo gerado por todas as raízes) e de geradores explícitos (duas adjunções e depois uma adjunção).
Passo 2
Vamos fatorar
e achar as raízes. Note que
é uma diferença de quadrados com
. Escrevemos:
Cada fator quadrático dá duas raízes ao resolver igual a zero.
Resolver
dá
Resolver
dá
Aqui usei a notação
. Portanto as quatro raízes são
e
. Vou explicitar de forma clara no próximo passo.
Passo 3
Listando explicitamente as raízes (resposta do item (a)):
As raízes de
são
Comentário didático rápido: cada raiz apareceu porque os fatores
e
se anulam nesses valores. Assim já resolvemos (a).
Passo 4
Agora queremos reduzir as quatro adjunções
para apenas duas adjunções. Vou explicar o que significa:
- Adicionar uma raiz
ao corpo gera , que contém tanto quanto (pois e ). - Adicionar
ao corpo gera , que contém e . - Se eu faço as duas adjunções
, esse corpo contém produtos e combinações racionais, então contém porque .
Portanto uma escolha natural de dois geradores é
Vou mostrar formalmente que com esses dois já obtemos todas as raízes e que nada mais é necessário.
Passo 5
Mostrar que
é o corpo de decomposição.
-
contém e por construção, logo contém e (pois e ). Assim contém todas as raízes . Logo a extensão que gera todas as raízes está contida em . -
Por outro lado, o corpo de decomposição é, por definição, o menor corpo que contém
e todas as raízes; como contém todas as raízes, a igualdade segue: o corpo de decomposição é exatamente .
Portanto para o item (b) podemos tomar
e obter
.
Observação didática: às vezes o enunciado escreve
mas, neste contexto, significa o corpo gerado pelos elementos; eu usei a notação
que é a usual para corpos gerados por adjunções. Também poderia ter escolhido
e
; são equivalentes em termos de gerar o mesmo corpo, pois
e divisão por
é válida dentro de um corpo que contenha
.
Passo 6
Agora vamos reduzir tudo para apenas uma adjunção (item (c)). Queremos um
tal que
Uma forma construtiva é escolher
que “misture” as duas quantidades de modo que, a partir de
, consigamos recuperar tanto
quanto
.
Um palpite eficaz é
Vou mostrar que com esse
conseguimos obter
e
, daí
conterá
e, por minimalidade, serão iguais.
Passo 7
Calcular
e extrair
e
.
Compute:
Agora expandimos
:
Então
Assim obtemos explicitamente
Como
, temos
. Como
e
, podemos isolar
Logo
também. Portanto
contém
e
, isto é,
A outra inclusão
é óbvia porque
e o lado direito contém
e
. Assim há igualdade:
Passo 8
Resumo didático e motivador: escolhemos
porque sua quadrado dá
, permitindo extrair
diretamente. Uma vez que
está em
, também fica fácil recuperar
dividindo
por
. Isso é um truque prático para construir um gerador único (elemento primitivo) explicitamente; a teoria geral (teorema do elemento primitivo) garante que na maioria dos casos compostos de extensões finitas sobre
existe tal elemento, mas aqui demos a construção concreta.
Resposta
(a)
(b) , pois
(c) , pois
(b)
(c)