Mudança de Coordenadas + Matriz Jacobiana + Coordenadas Cilíndricas.
Para a=\frac{1}{4 \pi}, calcule o volume do hiperbolóide de uma folha \mathcal{H}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2} \leq 1, \quad-1 \leq z \leq 1.
a [ ] 1
b[ ] 2
c[ ] 3
d [ ] 4
e[ ] 5

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do conjunto \mathcal{H} definido por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2} \leq 1,\qquad -1 \leq z \leq 1,
onde foi dado a=\dfrac{1}{4\pi}.
Informações relevantes dadas:
a=\dfrac{1}{4\pi},
a região é composta por todos os pontos (x,y,z) que satisfazem a desigualdade e cujo z está entre -1 e 1. O objetivo é obter o volume numérico dessa região (há alternativas numéricas).

Passo 2

Entendendo a forma da região: para cada valor fixo de z com -1\le z\le 1, podemos ver a interseção da região com o plano horizontal z=\text{const}. Fixando z, a desigualdade em x,y fica
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9} \le 1+z^{2}.
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem do plano xy. Vamos identificar as semi‑eixos dessa elipse.
Dividindo ambos os lados por 1+z^{2} (positivo), obtemos
\frac{x^{2}}{a^{2}(1+z^{2})}+\frac{y^{2}}{9(1+z^{2})}\le 1.
Logo os semi‑eixos da elipse (nos eixos x e y) são
\text{semi‑eixo em }x:\quad a_x = a\sqrt{1+z^{2}},
\text{semi‑eixo em }y:\quad a_y = 3\sqrt{1+z^{2}}.
A área de uma elipse com semi‑eixos a_x e a_y é \pi a_x a_y. Portanto a área da seção transversal no nível z é
A(z)=\pi \, a_x a_y = \pi\bigl(a\sqrt{1+z^{2}}\bigr)\bigl(3\sqrt{1+z^{2}}\bigr)=3a\pi(1+z^{2}).

Passo 3

Princípio do corte (método das fatias): o volume da região é a integral da área das secções transversais ao longo de z:
V=\int_{z=-1}^{1} A(z)\,dz.
Aqui A(z) foi obtida no passo anterior. Esse método é intuitivo: somamos as áreas das fatias finitas A(z)\,dz ao longo do eixo z.

Passo 4

Substituindo A(z)=3a\pi(1+z^{2}) na integral:
V=\int_{-1}^{1} 3a\pi(1+z^{2})\,dz = 3a\pi \int_{-1}^{1} (1+z^{2})\,dz.
Agora calculemos a integral em passos bem explícitos.
Calcule \displaystyle \int_{-1}^{1} 1\,dz = [z]_{-1}^{1}=1-(-1)=2.
Calcule \displaystyle \int_{-1}^{1} z^{2}\,dz. Como z^{2} é função par, podemos fazer 2\int_{0}^{1} z^{2}\,dz. Assim
\int_{-1}^{1} z^{2}\,dz = 2\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Somando as duas partes:
\int_{-1}^{1} (1+z^{2})\,dz = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}.
Portanto
V = 3a\pi \cdot \frac{8}{3} = 8a\pi.

Passo 5

Agora substituímos o valor numérico de a. Lembrando a=\dfrac{1}{4\pi}, temos
V = 8\cdot \left(\dfrac{1}{4\pi}\right)\pi = 8\cdot \dfrac{\pi}{4\pi} = 8\cdot \dfrac{1}{4}=2.
Detalhe do cancelamento: \left(\dfrac{1}{4\pi}\right)\pi = \dfrac{\pi}{4\pi}=\dfrac{1}{4}.

Passo 6

Breve comentário didático sobre mudança de variáveis e Jacobiana (opcional, para reforçar a ideia): em cada fatia fixa z podemos mapear a elipse para o disco unitário por uma transformação linear
x = a\sqrt{1+z^{2}}\;u,\qquad y = 3\sqrt{1+z^{2}}\;v,
onde (u,v) varia no disco u^{2}+v^{2}\le 1. A matriz jacobiana dessa transformação (derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v)) tem determinante |J|=a\cdot 3\cdot(1+z^{2})=3a(1+z^{2}). Assim a área da elipse é
\iint_{u^{2}+v^{2}\le1} |J|\,du\,dv = 3a(1+z^{2})\cdot \text{Área do disco unitário}=3a(1+z^{2})\pi,Áá
que é exatamente o A(z) usado antes. Isso mostra como a Jacobiana mede o fator de escala de área na mudança de variáveis.

Resposta

b) 2

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