Mudança de Coordenadas + Matriz Jacobiana + Coordenadas Cilíndricas.
Para
, calcule o volume do hiperbolóide de uma folha
.
a [ ] 1
b[ ] 2
c[ ] 3
d [ ] 4
e[ ] 5
a [ ] 1
b[ ] 2
c[ ] 3
d [ ] 4
e[ ] 5
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do conjunto
definido por
onde foi dado
.
Informações relevantes dadas:
a região é composta por todos os pontos
que satisfazem a desigualdade e cujo
está entre
e
. O objetivo é obter o volume numérico dessa região (há alternativas numéricas).
Passo 2
Entendendo a forma da região: para cada valor fixo de
com
, podemos ver a interseção da região com o plano horizontal
. Fixando
, a desigualdade em
fica
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem do plano
. Vamos identificar as semi‑eixos dessa elipse.
Dividindo ambos os lados por
(positivo), obtemos
Logo os semi‑eixos da elipse (nos eixos
e
) são
A área de uma elipse com semi‑eixos
e
é
. Portanto a área da seção transversal no nível
é
Passo 3
Princípio do corte (método das fatias): o volume da região é a integral da área das secções transversais ao longo de
:
Aqui
foi obtida no passo anterior. Esse método é intuitivo: somamos as áreas das fatias finitas
ao longo do eixo
.
Passo 4
Substituindo
na integral:
Agora calculemos a integral em passos bem explícitos.
Calcule
Calcule
. Como
é função par, podemos fazer
. Assim
Somando as duas partes:
Portanto
Passo 5
Agora substituímos o valor numérico de
. Lembrando
, temos
Detalhe do cancelamento:
.
Passo 6
Breve comentário didático sobre mudança de variáveis e Jacobiana (opcional, para reforçar a ideia): em cada fatia fixa
podemos mapear a elipse para o disco unitário por uma transformação linear
onde
varia no disco
. A matriz jacobiana dessa transformação (derivadas parciais de
em relação a
) tem determinante
. Assim a área da elipse é
que é exatamente o
usado antes. Isso mostra como a Jacobiana mede o fator de escala de área na mudança de variáveis.
Resposta
b) 2