Seja \boldsymbol{E} a elipse de equação
9616 x^{2}+5760 x y+3904 y^{2}=270400^{2}
ou, em notação matricial,
\left(\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}9616 & 2880 \\\\ 2880 & 3904\end{array}\right)\binom{x}{y}=270400^{2}
A área da região definida pelas desigualdades
9616 x^{2}+5760 x y+3904 y^{2} \leq 270400^{2}
y \leq 27 x
é da forma N \pi para algum número inteiro N. Qual?
\square

Passo 1

O enunciado dá a elipse \boldsymbol{E} pela equação
9616\,x^{2}+5760\,x y+3904\,y^{2}=270400^{2},
ou, em notação matricial,
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}9616 & 2880 \\[4pt] 2880 & 3904\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} =270400^{2}.
A região de interesse é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente
9616\,x^{2}+5760\,x y+3904\,y^{2}\le 270400^{2}
e
y\le 27x.
A pergunta pede: a área dessa região é da forma N\pi para algum inteiro N; qual é esse N? Listei as duas desigualdades e o que se busca.]

Passo 2

Observação geométrica importante (explicação didática e intuitiva): a elipse dada é centrada na origem porque não há termos lineares em x ou y. Ou seja, se (x,y) pertence à elipse, então (-x,-y) também pertence — a elipse é um conjunto centralmente simétrico em relação à origem. Uma propriedade simples e útil de figuras centralmente simétricas é que qualquer reta que passe pelo centro (a origem) divide a figura em duas partes de mesma área. A reta y=27x passa pela origem. Portanto, a região dentro da elipse e com y\le 27x é exatamente metade da área total da elipse. Vou usar isso: área procurada = metade da área da elipse completa.

Passo 3

Agora precisamos calcular a área total da elipse definida por
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} \le 270400^{2},
onde
A=\begin{pmatrix}9616 & 2880 \\[4pt] 2880 & 3904\end{pmatrix}.
Vou explicar uma fórmula padrão e por que vale: se uma elipse é dada por \;x^{T}A x \le c^{2}; com A simétrica definida positiva e c>0, então a transformação linear
u = B x,
com B satisfazendo B^{T}B=A (ou seja, B=A^{1/2}), leva a elipse para o círculo de raio c no espaço u, porque
x^{T}A x = x^{T}B^{T}B x = \|B x\|^{2} = \|u\|^{2}.
O círculo tem área \pi c^{2}. A transformação x\mapsto u escala áreas por fator |\det(B)|. Como essa transformação leva a elipse para o círculo, temos
\text{Área(elipse)} = \frac{\text{Área(círculo)}}{|\det(B)|} = \frac{\pi c^{2}}{\det(B)}.ÁÁí
Mas \det(B)^{2}=\det(B^{T}B)=\det(A), logo \det(B)=\sqrt{\det(A)}. Assim a fórmula final é
\text{Área(elipse)} = \frac{\pi c^{2}}{\sqrt{\det(A)}}.Á
(Resumo didático: o determinante do operador que leva a elipse ao círculo mede quanto as áreas são multiplicadas; por isso aparece \sqrt{\det(A)}.)]

Passo 4

Aplicando a fórmula para o nosso caso: c=270400 e A é a matriz dada. Primeiro calculamos \det(A). Faço passo a passo:
\det(A)=9616\cdot 3904 - 2880^{2}.
Calculemos os produtos:
9616\cdot 3904 = 37\,540\,864,
2880^{2} = 8\,294\,400.
Subtraindo,
\det(A)=37\,540\,864 - 8\,294\,400 = 29\,246\,464.

Passo 5

Agora simplificamos \det(A) para ver se é um quadrado perfeito ou tem fatores quadrados úteis. Observe que
29\,246\,464 = 64 \cdot 456\,976,
e
456\,976 = 676^{2}
porque 676=26^{2} e 676^{2}=456\,976. Então
\det(A)=64\cdot 676^{2}=(8\cdot 676)^{2}=5408^{2}.
Portanto
\sqrt{\det(A)}=5408.

Passo 6

Usando a fórmula da área da elipse:
\text{Área(elipse)}=\frac{\pi c^{2}}{\sqrt{\det(A)}}=\frac{\pi\cdot 270400^{2}}{5408}.Á
Simplifico a fração passo a passo. Primeiro calcule
\frac{270400^{2}}{5408}=270400\cdot\frac{270400}{5408}.
Agora reduzo \dfrac{270400}{5408}. Dividindo numerador e denominador por 16:
\frac{270400}{5408}=\frac{16900}{338}.
Dividindo por 2:
\frac{16900}{338}=\frac{8450}{169}.
E \;169\cdot 50=8450\;, logo
\frac{8450}{169}=50.
Logo
\frac{270400^{2}}{5408}=270400\cdot 50=13\,520\,000.
Portanto a área total da elipse é
\text{Área(elipse)}=\pi\cdot 13\,520\,000.Á

Passo 7

Como já argui no Passo 2, a reta y=27x passa pelo centro da elipse, então divide a elipse em duas partes de mesma área. Assim a área da região que satisfaz também y\le 27x é metade da área total:
\text{Área(procurada)}=\tfrac{1}{2}\cdot \pi\cdot 13\,520\,000=\pi\cdot 6\,760\,000.Á
Portanto o número inteiro N tal que a área vale N\pi é N=6\,760\,000.

Resposta

6760000

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