ou, em notação matricial, \left(\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}9616 & 2880 \\\\ 2880 & 3904\end{array}\right)\binom{x}{y}=270400^{2}
A área da região definida pelas desigualdades 9616 x^{2}+5760 x y+3904 y^{2} \leq 270400^{2} y \leq 27 x
é da forma N \pi para algum número inteiro N. Qual? \square
Passo 1
O enunciado dá a elipse \boldsymbol{E} pela equação
A região de interesse é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente
9616\,x^{2}+5760\,x y+3904\,y^{2}\le 270400^{2}
e
y\le 27x.
A pergunta pede: a área dessa região é da forma N\pi para algum inteiro N; qual é esse N? Listei as duas desigualdades e o que se busca.]
Passo 2
Observação geométrica importante (explicação didática e intuitiva): a elipse dada é centrada na origem porque não há termos lineares em x ou y. Ou seja, se (x,y) pertence à elipse, então (-x,-y) também pertence — a elipse é um conjunto centralmente simétrico em relação à origem. Uma propriedade simples e útil de figuras centralmente simétricas é que qualquer reta que passe pelo centro (a origem) divide a figura em duas partes de mesma área. A reta y=27x passa pela origem. Portanto, a região dentro da elipse e com y\le 27x é exatamente metade da área total da elipse. Vou usar isso: área procurada = metade da área da elipse completa.
Passo 3
Agora precisamos calcular a área total da elipse definida por
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} \le 270400^{2},
Vou explicar uma fórmula padrão e por que vale: se uma elipse é dada por \;x^{T}A x \le c^{2}; com A simétrica definida positiva e c>0, então a transformação linear
u = B x,
com B satisfazendo B^{T}B=A (ou seja, B=A^{1/2}), leva a elipse para o círculo de raio c no espaço u, porque
x^{T}A x = x^{T}B^{T}B x = \|B x\|^{2} = \|u\|^{2}.
O círculo tem área \pi c^{2}. A transformação x\mapsto u escala áreas por fator |\det(B)|. Como essa transformação leva a elipse para o círculo, temos
Como já argui no Passo 2, a reta y=27x passa pelo centro da elipse, então divide a elipse em duas partes de mesma área. Assim a área da região que satisfaz também y\le 27x é metade da área total: