Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por
p(z)=z^4+(2+i) z^3+(2+i) z^2+(2+i) z+(1+i).
Podemos afirmar que
a) nenhuma das raízes de p é real.
b) não existem raízes de p que sejam complexas conjugadas.
c) a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2+raiz2.
d) o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 raiz2.
e) o módulo de uma das raízes de p é igual a raiz2.

Passo 1

O polinômio dado é p(z)=z^4+(2+i)z^3+(2+i)z^2+(2+i)z+(1+i). Vamos encontrar todas as raízes para depois verificar qual opção está correta.

Passo 2

Testando z=-i: calculamos p(-i)=(-i)^4+(2+i)(-i)^3+(2+i)(-i)^2+(2+i)(-i)+(1+i). Um a um:
(-i)^4=1,
(-i)^3=i,
(-i)^2=-1,
substituindo e somando dá zero. Logo, z=-i é raiz.

Passo 3

Dividimos p(z) por z+ i (divisão sintética com -i), obtendo o polinômio cúbico z^3+2z^2+(2-i)z+(1-i).

Passo 4

Testando agora z=i nesse cúbico, vemos que i^3+2i^2+(2-i)i+(1-i)=0. Logo, z=i é raiz.

Passo 5

Dividimos então o cúbico por z - i (divisão sintética com i) e chegamos à quadrática
z^2+(2+i)z+(1+i)=0

Passo 6

Resolvendo por fórmula de Bhaskara: o discriminante é
D=(2+i)^2-4(1+i)=-1,
cuja raiz quadrada é pm i. Assim as soluções são
z=-(2+i)pm i2,
isto é z=-1 e z=-1-i.

Passo 7

As quatro raízes encontradas são
i, -i, -1, -1-i

Passo 8

Calculamos os módulos:
(|i|=1,\quad|-i|=1,\quad|-1|=1,\quad|-1-i|=\sqrt{2}.]
Entre as opções, apenas a (e) afirma que o módulo de uma das raízes é raiz2, o que confere.

Passo 9

Portanto, a resposta correta é a opção (e).

Resposta

(e)

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