Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por
.
Podemos afirmar que
a) nenhuma das raízes de
é real.
b) não existem raízes de
que sejam complexas conjugadas.
c) a soma dos módulos de todas as raízes de
é igual a
.
d) o produto dos módulos de todas as raízes de
é igual a
.
e) o módulo de uma das raízes de
é igual a
.
Podemos afirmar que
a) nenhuma das raízes de
b) não existem raízes de
c) a soma dos módulos de todas as raízes de
d) o produto dos módulos de todas as raízes de
e) o módulo de uma das raízes de
Passo 1
O polinômio dado é
. Vamos encontrar todas as raízes para depois verificar qual opção está correta.
Passo 2
Testando
: calculamos
. Um a um:
,
,
,
substituindo e somando dá zero. Logo, é raiz.
substituindo e somando dá zero. Logo,
Passo 3
Dividimos
por
(divisão sintética com
), obtendo o polinômio cúbico
.
Passo 4
Testando agora
nesse cúbico, vemos que
. Logo,
é raiz.
Passo 5
Dividimos então o cúbico por
(divisão sintética com
) e chegamos à quadrática
Passo 6
Resolvendo por fórmula de Bhaskara: o discriminante é
cuja raiz quadrada é
isto é
e
.
Passo 7
As quatro raízes encontradas são
Passo 8
Calculamos os módulos:
(|i|=1,\quad|-i|=1,\quad|-1|=1,\quad|-1-i|=\sqrt{2}.]
Entre as opções, apenas a (e) afirma que o módulo de uma das raízes é , o que confere.
(|i|=1,\quad|-i|=1,\quad|-1|=1,\quad|-1-i|=\sqrt{2}.]
Entre as opções, apenas a (e) afirma que o módulo de uma das raízes é
Passo 9
Portanto, a resposta correta é a opção (e).
Resposta
(e)