O enunciado define uma função por partes f(x) com três ramos e outra g(x)=raiz1-x. Vamos precisar de conceitos de funções por partes (para esboçar f), de domínio de função composta (para achar onde g(f(x)) faz sentido) e de manipulação de inequações dentro de radicais.
Passo 2
Para esboçar f(x), analizamos cada ramo:
Ramo 1 (reta para x<=0):
f(x)=-2x-1, x<=0
É uma reta com coeficiente angular -2 e intercepto -1. No ponto x=0 temos f(0)=-1 (ponto fechado).
Ramo 2 (parábola para 0):
f(x)=x^2-3, 0
É uma parábola voltada para cima. Em x=0^+, fto-3 (ponto aberto). Em x=3, f(3)=6 (ponto fechado).
Ramo 3 (reta para x>3):
f(x)=x, x>3
É a reta identidade, começando em (3,3) com ponto aberto.
Passo 3
Para achar o domínio de gcirc f precisamos garantir que o radicando de g seja não-negativo, ou seja:
1 - f(x) >= 0 Leftrightarrow f(x) <= 1
Analisando em cada ramo de f:
Para x<=0, f(x)=-2x-1<=1 implica:
-2x-1<=1Rightarrow -2x<=2Rightarrow x>=-1
Juntando com x<=0, obtemos -1<= x<=0.
Para 0, f(x)=x^2-3<=1 implica:
x^2<=4Rightarrow -2<= x<=2
Como já temos 0, a interseção é 0.
Para x>3, f(x)=x<=1 não tem solução em x>3.
Portanto o domínio de gcirc f é
[-1,0]cup(0,2]=[-1,2]
Passo 4
Agora para obter (gcirc f)(x)=g(f(x))=raiz1 - f(x) usamos cada ramo de f, mas só para quem está no domínio [-1,2]:
Se -1<= x<=0, então f(x)=-2x-1 e
(gcirc f)(x)=raiz1 - (-2x-1)=raiz2+2x=raiz2(x+1)
Se 0, então f(x)=x^2-3 e
(gcirc f)(x)=raiz1 - (x^2-3)=raiz4 - x^2
Não há ramo para x>2 pois fica fora do domínio da composta.
Resposta
(a) O gráfico de f é formado por três pedaços: uma reta de coeficiente -2 até (0,-1) ponto fechado, depois uma parábola x^2-3 de 0< x<=3 (aberto em (0,-3), fechado em (3,6)) e finalmente a reta y=x para x>3 (aberto em (3,3)).