Considere o polinômio
. Mostre que a média aritmética das raízes
e
é o único ponto de inflexão de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para o polinômio cúbico
, o único ponto de inflexão é a média aritmética das raízes
. O conteúdo é cálculo de derivadas e definição de ponto de inflexão (onde
e a concavidade muda).
Passo 2
Primeiro vamos escrever
na forma expandida. Sabendo que ao multiplicar três fatores lineares temos:
Aqui definimos
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas de segunda ordem. Primeiro a derivada primeira:
Depois a derivada segunda:
Passo 4
O ponto de inflexão ocorre onde
e acontece mudança de concavidade. Da equação
obtemos
$$3x-S=0
\implies x=\frac{S}{3}=\frac{r_1+r_2+r_3}{3}$$
Verificamos que, para ,
tem sinal oposto a
, confirmando a mudança de concavidade e, portanto, que este é o único ponto de inflexão.
Verificamos que, para
Passo 5
Como só há uma solução para
e nela muda a concavidade, concluímos que a média aritmética das raízes é o único ponto de inflexão de
.
Resposta
O único ponto de inflexão de
é
.