Considere o polinômio p(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3). Mostre que a média aritmética das raízes r1, r2 e r3 é o único ponto de inflexão de p.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o polinômio cúbico p(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3), o único ponto de inflexão é a média aritmética das raízes bar r=tfracr1+r2+r33. O conteúdo é cálculo de derivadas e definição de ponto de inflexão (onde p''(x)=0 e a concavidade muda).

Passo 2

Primeiro vamos escrever p(x) na forma expandida. Sabendo que ao multiplicar três fatores lineares temos:
p(x)=al(x^3-(r1+r2+r3)x^2+(r1r2+r1r3+r2r3)x-r1r2r3r)
Aqui definimos S=r1+r2+r3 e P=r1r2+r1r3+r2r3 para simplificar.

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas de segunda ordem. Primeiro a derivada primeira:
p'(x)=al(3x^2-2Sx+Pr)
Depois a derivada segunda:
p''(x)=al(6x-2Sr)=2al(3x-Sr)

Passo 4

O ponto de inflexão ocorre onde p''(x)=0 e acontece mudança de concavidade. Da equação 2a(3x-S)=0 obtemos
$$3x-S=0
\implies x=\frac{S}{3}=\frac{r_1+r_2+r_3}{3}$$
Verificamos que, para 3x-S=0 implies x=S3=r1+r2+r33, x tem sinal oposto a p''(x), confirmando a mudança de concavidade e, portanto, que este é o único ponto de inflexão.

Passo 5

Como só há uma solução para p''(x)=0 e nela muda a concavidade, concluímos que a média aritmética das raízes é o único ponto de inflexão de p(x).

Resposta

O único ponto de inflexão de p(x) é x=r1+r2+r33.

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