Considere os polinômios
e
. Faça a divisão
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a divisão do polinômio $ P = x^{4} - 2x^{2} + 1 $ pelo polinômio $ Q = x - 1 $. Aqui, estamos trabalhando com divisão de polinômios, que é uma técnica importante na álgebra para simplificar expressões ou encontrar raízes de equações. Para isso, vamos usar a divisão longa de polinômios, que é semelhante à divisão que aprendemos na aritmética.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os polinômios de forma organizada, alinhando os termos semelhantes. O polinômio $ P $ tem coeficientes para $ x^4 $, $ x^2 $ e o termo constante. Notamos que está faltando $ x^3 $ e $ x $, então vamos representar esses termos com coeficientes zero:
E o polinômio $ Q $ já está na forma $ x - 1 $.
Passo 3
Agora, vamos começar a divisão longa. Perguntamos: quantas vezes o primeiro termo de $ Q $ (que é $ x $) cabe no primeiro termo de $ P $ (que é $ x^{4} $)? A resposta é $ x^{3} $, porque $ x \times x^{3} = x^{4} $.
Passo 4
Multiplicamos o quociente $ x^{3} $ pelo divisor $ Q = x - 1 $:
Subtraímos esse resultado do polinômio $ P $:
Passo 5
Repetimos o processo com o novo polinômio $ x^{3} - 2x^{2} + 1 $. Perguntamos: quanto é $ x^{3} $ dividido por $ x $? É $ x^{2} $.
Passo 6
Multiplicamos o quociente $ x^{2} $ pelo divisor $ Q $:
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Passo 7
Agora, dividimos $ -x^{2} $ por $ x $, o que dá $ -x $:
Passo 8
Multiplicamos $ -x $ pelo divisor $ Q $:
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Passo 9
Dividimos $ -x $ por $ x $, resultando em $ -1 $:
Passo 10
Multiplicamos $ -1 $ pelo divisor $ Q $:
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Resposta
A divisão de $ P = x^{4} - 2x^{2} + 1 $ por $ Q = x - 1 $ resulta no quociente $ x^{3} + x^{2} - x - 1 $ e resto zero. Portanto,