Considere os polinômios P=x^4-2 x^2+1 e Q=x-1. Faça a divisão PQ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a divisão do polinômio $ P = x^{4} - 2x^{2} + 1 $ pelo polinômio $ Q = x - 1 $. Aqui, estamos trabalhando com divisão de polinômios, que é uma técnica importante na álgebra para simplificar expressões ou encontrar raízes de equações. Para isso, vamos usar a divisão longa de polinômios, que é semelhante à divisão que aprendemos na aritmética.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os polinômios de forma organizada, alinhando os termos semelhantes. O polinômio $ P $ tem coeficientes para $ x^4 $, $ x^2 $ e o termo constante. Notamos que está faltando $ x^3 $ e $ x $, então vamos representar esses termos com coeficientes zero:
P
E o polinômio $ Q $ já está na forma $ x - 1 $.

Passo 3

Agora, vamos começar a divisão longa. Perguntamos: quantas vezes o primeiro termo de $ Q $ (que é $ x $) cabe no primeiro termo de $ P $ (que é $ x^{4} $)? A resposta é $ x^{3} $, porque $ x \times x^{3} = x^{4} $.
Q

Passo 4

Multiplicamos o quociente $ x^{3} $ pelo divisor $ Q = x - 1 $:
x^3
Subtraímos esse resultado do polinômio $ P $:
Q = x - 1

Passo 5

Repetimos o processo com o novo polinômio $ x^{3} - 2x^{2} + 1 $. Perguntamos: quanto é $ x^{3} $ dividido por $ x $? É $ x^{2} $.
x^3 - 2x^2 + 1

Passo 6

Multiplicamos o quociente $ x^{2} $ pelo divisor $ Q $:
x^2
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Q

Passo 7

Agora, dividimos $ -x^{2} $ por $ x $, o que dá $ -x $:
-x^2

Passo 8

Multiplicamos $ -x $ pelo divisor $ Q $:
-x
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Q

Passo 9

Dividimos $ -x $ por $ x $, resultando em $ -1 $:
-x

Passo 10

Multiplicamos $ -1 $ pelo divisor $ Q $:
-1
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Q

Resposta

A divisão de $ P = x^{4} - 2x^{2} + 1 $ por $ Q = x - 1 $ resulta no quociente $ x^{3} + x^{2} - x - 1 $ e resto zero. Portanto,
P = x^4 - 2x^2 + 1

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