Um objeto de m=2 kg está preso a uma mola com constante elástica igual k=18 N / m e sujeito a um meio com coeficiente de amortecimento igual c=4 N cdot s / m. O sistema parte do repouso com deslocamento inicial de 5 cm . A equação diferencial que rege o movimento da m é dado por:
m y^prime prime+c y^prime+k y=0
onde y(t) representa o descolamento da massa em metros,
Determine a solução da equação diferencial

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=2,kg, constante elástica k=18,N/m e coeficiente de amortecimento c=4,Ncdot s/m. A equação diferencial é m y''+c y'+k y=0 com condições iniciais y(0)=0.05,m e y'(0)=0. Para resolver, vamos usar teoria de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
2r^2+4r+18=0
Dividindo por 2:
r^2+2r+9=0

Passo 3

Calculamos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 -4cdot1cdot92 = -2 pm raiz-322 = -1 pm 2raiz2,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas -1pm i,2raiz2, temos regime subamortecido. A solução geral é da forma
y(t)=e^-tl(Acos(2raiz2,t)+Bsin(2raiz2,t)r)

Passo 5

Aplicamos y(0)=0.05:
y(0)=A=0.05
Derivando y(t):
y'(t)=e^-tl(-Acos(2raiz2t)-Bsin(2raiz2t)-2raiz2,Asin(2raiz2t)+2raiz2,Bcos(2raiz2t)r)
E avaliando em t=0 com y'(0)=0:
0 = -A + 2raiz2,B implies B=A2raiz2=0.052raiz2

Passo 6

Portanto os valores são A=0.05 e B=0.05/(2raiz2), e a solução completa fica:
y(t)=e^-tl(0.05cos(2raiz2,t)+0.052raiz2sin(2raiz2,t)r)

Resposta

y(t)=e^{-t}\Bigl(0.05\cos(2\sqrt2,t)+\frac{0.05}{2\sqrt2}\sin(2\sqrt2,t)\Bigr)

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