Determine se o conjunto de vetores U=(1,0,1,2),(2,1,1,1),(1,1,0,-1) é linearmente independente. Encontre uma base de vetores do subespaço gerado pelo conjunto U

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
U=(1,0,1,2),,(2,1,1,1),,(1,1,0,-1)subsetR^4
e pede para verificar se esses vetores são linearmente independentes e, caso não sejam, encontrar uma base do subespaço gerado por eles. Para isso, usaremos a definição de independência linear, que consiste em resolver a combinação linear nula.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a(1,0,1,2)+b(2,1,1,1)+c(1,1,0,-1)=(0,0,0,0)
Isso gera o sistema
a + 2b + c = 0, b + c = 0, a + b = 0, 2a + b - c = 0

Passo 3

Da terceira equação vem
a + b = 0implies a=-b,
e da segunda vem
b + c=0implies c=-b
Substituindo a=-b e c=-b nas equações 1 e 4, elas se reduzem a identidades 0=0. Logo existe solução não trivial (a,b,c)=(-b,b,-b) com bneq0. Assim, os três vetores de U são linearmente dependentes.

Passo 4

Como a dimensão do subespaço gerado é 2, basta escolher dois vetores de
Isso dá o sistema
cuja única solução é e são independentes e geram todo o span de .

Resposta

U é linearmente dependente.
Uma base para o subespaço gerado por U é
(1,0,1,2),,(2,1,1,1)

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