Determine se o conjunto de vetores é linearmente independente. Encontre uma base de vetores do subespaço gerado pelo conjunto
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores
e pede para verificar se esses vetores são linearmente independentes e, caso não sejam, encontrar uma base do subespaço gerado por eles. Para isso, usaremos a definição de independência linear, que consiste em resolver a combinação linear nula.
Passo 2
Suponha que existam escalares tais que
Isso gera o sistema
Passo 3
Da terceira equação vem
a + b = 0implies a=-b,
e da segunda vem
b + c=0implies c=-b
Substituindo a=-b e c=-b nas equações 1 e 4, elas se reduzem a identidades 0=0. Logo existe solução não trivial (a,b,c)=(-b,b,-b) com bneq0. Assim, os três vetores de U são linearmente dependentes.
Passo 4
Como a dimensão do subespaço gerado é 2, basta escolher dois vetores de
Isso dá o sistema
cuja única solução é e são independentes e geram todo o span de .
Resposta
U é linearmente dependente.
Uma base para o subespaço gerado por U é