Encontre a solução geral das EDOs:
y^prime prime-6 y^prime-7 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 6y' - 7y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO em um polinômio em r.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^rx, de modo que y' mapsto r e^rx e y''mapsto r^2 e^rx. Assim obtemos
r^2 - 6r - 7 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 - 6r - 7 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara, onde o discriminante é De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot(-7)=36+28=64. Logo
r = 6 pm raiz642 = 6 pm 82,
que dá as raízes
r1 = 7 e r2 = -1

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^7x + C2 e^-x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1 e^7x + C2 e^-x

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