Considere um ponto . Aplique uma rotação de torno do eixo e, em seguida, uma translação pelo vetor .
a) Determine a matriz de rotação Rz(180^circ).
b) Calcule o novo ponto P^prime após a rotação.
c) Encontre o ponto final P^prime prime após aplicar a translação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto $ P = (2, 1, 0) $ no espaço e precisa fazer duas coisas: primeiro, girar esse ponto 180 graus em torno do eixo $ z $, e depois, mover esse ponto usando um vetor de translação $ \mathbf{t} = P = (2, 1, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de rotação e translação no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a matriz de rotação $ R_z(180^\circ) $ em torno do eixo $ z $. A matriz de rotação em torno do eixo $ z $ para um ângulo $ \theta $ é dada por:
Rz(180^circ)
Para $ \theta = 180^\circ $, sabemos que:
z
Então, substituindo esses valores na matriz, temos:
z
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa matriz de rotação no ponto $ P = (2, 1, 0) $. Primeiro, representamos o ponto $ P $ como um vetor coluna:
P = (2, 1, 0)
Para encontrar o novo ponto $ P’ $ após a rotação, multiplicamos a matriz de rotação pelo vetor $ \mathbf{P} $:
P
Ou seja, o novo ponto após a rotação é $ P’ = (-2, -1, 0) $.
Passo 4
Por último, vamos aplicar a translação pelo vetor $ \mathbf{t} = t = 1 -1 0 $ ao ponto $ P’ = (-2, -1, 0) $. A translação é feita somando cada componente do vetor de translação às coordenadas do ponto:
P' = (-2, -1, 0)
Portanto, o ponto final após a rotação e a translação é $ P’’ = (-1, -2, 0) $.
Resposta
a) A matriz de rotação é:
Rz(180^circ) = -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
b) O novo ponto após a rotação é $ P’ = (-2, -1, 0) $.
c) O ponto final após a translação é $ P’’ = (-1, -2, 0) $.