(9) Suponha que uma antena dipolo de Hertz com 1,0 cm de comprimento seja excitada por uma fonte de corrente com amplitude
a 100 MHz .
(a) Qual é a máxima densidade de potência radiada por essa antena a uma distância de
?
(a) Qual é a máxima densidade de potência radiada por essa antena a uma distância de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma antena dipolo de Hertz com 1,0 cm de comprimento, que está sendo alimentada por uma corrente de 10,0 mA em uma frequência de 100 MHz. A pergunta é: qual é a máxima densidade de potência radiada por essa antena a uma distância de 1,0 km?
Aqui, estamos lidando com conceitos de teoria eletromagnética, especificamente sobre antenas e radiação eletromagnética. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a densidade de potência radiada por uma antena dipolo, considerando fatores como a corrente que a alimenta, sua frequência de operação, o comprimento da antena e a distância onde queremos saber a densidade de potência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é densidade de potência radiada. Basicamente, é a quantidade de energia que a antena emite por unidade de área em uma determinada direção. Para uma antena dipolo, a densidade de potência máxima ocorre na direção perpendicular ao eixo da antena.
Vamos usar a seguinte fórmula para calcular a densidade de potência $ S $:
Onde:
- $ E $ é o campo elétrico na distância considerada.
- $ \eta $ é a impedância intrínseca do espaço livre, que vale aproximadamente $ 377 , \Omega $.
Mas antes de mais nada, precisamos encontrar o campo elétrico $ E $ radiado pela antena a uma distância de 1,0 km. Para uma antena dipolo, o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ é dado por:
Onde:
- $ I $ é a amplitude da corrente na antena (10,0 mA).
- $ l $ é o comprimento da antena (1,0 cm).
- $ \omega $ é a frequência angular, que é $ 2\pi \times f $ (com $ f = 100 $ MHz).
- $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo da antena; para máxima densidade de potência, $ \theta = 90^\circ $, então $ \sin \theta = 1 $.
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do espaço livre ($ 8,85 \times 10^{-12} , F/m $).
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 , m/s $).
- $ r $ é a distância da antena (1,0 km = 1000 m).
Vamos calcular passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a frequência angular $ \omega $:
Convertendo o comprimento da antena para metros:
Agora, substituindo os valores na fórmula do campo elétrico $ E $:
Onde:
- $ I = 10,0 , mA = 0,01 , A $
- $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $
- $ c = 3 \times 10^8 , m/s $
- $ r = 1000 , m $
Substituindo:
Vamos calcular o denominador e o numerador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Agora, calculando $ E $:
Passo 4
Agora que temos o campo elétrico $ E $, podemos calcular a densidade de potência $ S $:
Sabemos que $ \eta = 377 , \Omega $. Então:
Calculando $ E^2 $:
Agora, substituindo:
Resposta
A máxima densidade de potência radiada pela antena a uma distância de 1,0 km é aproximadamente $ 5,23 \times 10^{-14} , W/m^2 $.