(9) Suponha que uma antena dipolo de Hertz com 1,0 cm de comprimento seja excitada por uma fonte de corrente com amplitude 10,0 mA a 100 MHz .
(a) Qual é a máxima densidade de potência radiada por essa antena a uma distância de 1,0 km ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma antena dipolo de Hertz com 1,0 cm de comprimento, que está sendo alimentada por uma corrente de 10,0 mA em uma frequência de 100 MHz. A pergunta é: qual é a máxima densidade de potência radiada por essa antena a uma distância de 1,0 km?
Aqui, estamos lidando com conceitos de teoria eletromagnética, especificamente sobre antenas e radiação eletromagnética. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a densidade de potência radiada por uma antena dipolo, considerando fatores como a corrente que a alimenta, sua frequência de operação, o comprimento da antena e a distância onde queremos saber a densidade de potência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é densidade de potência radiada. Basicamente, é a quantidade de energia que a antena emite por unidade de área em uma determinada direção. Para uma antena dipolo, a densidade de potência máxima ocorre na direção perpendicular ao eixo da antena.
Vamos usar a seguinte fórmula para calcular a densidade de potência $ S $:
S
Onde:
  • $ E $ é o campo elétrico na distância considerada.
  • $ \eta $ é a impedância intrínseca do espaço livre, que vale aproximadamente $ 377 , \Omega $.
Mas antes de mais nada, precisamos encontrar o campo elétrico $ E $ radiado pela antena a uma distância de 1,0 km. Para uma antena dipolo, o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ é dado por:
S = E^22 eta
Onde:
  • $ I $ é a amplitude da corrente na antena (10,0 mA).
  • $ l $ é o comprimento da antena (1,0 cm).
  • $ \omega $ é a frequência angular, que é $ 2\pi \times f $ (com $ f = 100 $ MHz).
  • $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo da antena; para máxima densidade de potência, $ \theta = 90^\circ $, então $ \sin \theta = 1 $.
  • $ \epsilon_0 $ é a permissividade do espaço livre ($ 8,85 \times 10^{-12} , F/m $).
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 , m/s $).
  • $ r $ é a distância da antena (1,0 km = 1000 m).
Vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a frequência angular $ \omega $:
omega
Convertendo o comprimento da antena para metros:
omega = 2pi f = 2pi times 100 times 10^6 , Hz = 6,28 times 10^8 , rad/s
Agora, substituindo os valores na fórmula do campo elétrico $ E $:
l = 1,0 , cm = 0,01 , m
Onde:
  • $ I = 10,0 , mA = 0,01 , A $
  • $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $
  • $ c = 3 \times 10^8 , m/s $
  • $ r = 1000 , m $
Substituindo:
E
Vamos calcular o denominador e o numerador separadamente.
Numerador:
E = I cdot l cdot omega4 pi epsilon0 c^2 r
Denominador:
I = 10,0 , mA = 0,01 , A
epsilon0 = 8,85 times 10^-12 , F/m
c = 3 times 10^8 , m/s
r = 1000 , m
E = 0,01 times 0,01 times 6,28 times 10^84 pi times 8,85 times 10^-12 times (3 times 10^8)^2 times 1000
Agora, calculando $ E $:
0,01 times 0,01 times 6,28 times 10^8 = 6,28 times 10^4

Passo 4

Agora que temos o campo elétrico $ E $, podemos calcular a densidade de potência $ S $:
E
Sabemos que $ \eta = 377 , \Omega $. Então:
S
Calculando $ E^2 $:
S = E^22 eta
Agora, substituindo:
eta = 377 , Omega

Resposta

A máxima densidade de potência radiada pela antena a uma distância de 1,0 km é aproximadamente $ 5,23 \times 10^{-14} , W/m^2 $.

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