Dado o ponto P=(0,3,1), faça uma rotação de 90^circ em torno do eixo y e, em seguida, uma translação pelo vetor t=(c-2 2 0).
  • a) Escreva a matriz de rotação Ry(90^circ).
  • b) Calcule o novo ponto P^prime após a rotação.
  • c) Determine o ponto final P^prime prime após a translação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o ponto $ P = (0, 3, 1) $ e precisa fazer duas transformações nele: primeiro, uma rotação de $ 90^\circ $ em torno do eixo $ y $, e depois uma translação pelo vetor $ \mathbf{t} = P = (0, 3, 1) $. Vamos usar conhecimentos de matrizes de rotação e operações vetoriais pra chegar na resposta. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz de rotação em torno do eixo $ y $ para $ 90^\circ $. A matriz de rotação $ R_y(\theta) $ em torno do eixo $ y $ é dada por:
y
Como o ângulo é $ 90^\circ $, sabemos que $ \cos(90^\circ) = 0 $ e $ \sin(90^\circ) = 1 $. Substituindo esses valores na matriz, temos:
90^circ

Passo 3

Agora, vamos aplicar a matriz de rotação $ R_y(90^\circ) $ no ponto $ P = (0, 3, 1) $. Para isso, representamos $ P $ como um vetor coluna:
Ry(90^circ)
Multiplicando a matriz de rotação pelo vetor $ P $:
P = (0, 3, 1)
Então, após a rotação, o ponto fica $ P’ = (1, 3, 0) $.

Passo 4

Agora, vamos realizar a translação pelo vetor $ \mathbf{t} = t = -2 2 0 $. A translação simplesmente adiciona o vetor $ \mathbf{t} $ às coordenadas do ponto $ P’ $:
t

Resposta

Após a rotação e a translação, o ponto final é $ P’’ = (-1, 5, 0) $.

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