Determine um vetor \vec{w} de módulo igual a 10 , ortogonal a \vec{u}=(-1,3,5) e \vec{v}=(2,-1,7) de forma que \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} seja negativamente orientado. R: \left(\frac{-26}{33} \sqrt{110}, \frac{-17}{33} \sqrt{110}, \frac{5}{33} \sqrt{110}\right)

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{w} tal que
  1. \|\vec{w}\|=10,
  2. \vec{w} é ortogonal a \vec{u}=(-1,3,5) e a \vec{v}=(2,-1,7),
  3. o triplo \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} tenha orientação negativa.
    Para isso, vamos usar o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}, pois ele gera um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v}, e controlar o sinal para garantir a orientação correta.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 3 & 5\\\\ 2 & -1 & 7 \end{vmatrix} =\bigl(3\cdot7 - 5\cdot(-1),\;-\bigl(-1\cdot7 - 5\cdot2\bigr),\;-1\cdot(-1) - 3\cdot2\bigr) =(26,\,17,\,-5).

Passo 3

Agora achamos o módulo desse vetor:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\sqrt{26^{2}+17^{2}+(-5)^{2}} =\sqrt{676+289+25} =\sqrt{990} =3\sqrt{110}.

Passo 4

Qualquer vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v} é da forma
\vec{w}=k\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)
para algum escalar k. Aí
\|\vec{w}\|=|k|\,\|\vec{u}\times\vec{v}\| =|k|\,(3\sqrt{110}) \stackrel!=10 \quad\Longrightarrow\quad |k|=\frac{10}{3\sqrt{110}}.

Passo 5

Para que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} seja negativamente orientado, precisamos que
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}<0,
ou seja, k<0. Logo
k=-\frac{10}{3\sqrt{110}}
e
\vec{w} =-\frac{10}{3\sqrt{110}}\,(26,\,17,\,-5) =\Bigl(\,-\tfrac{260}{3\sqrt{110}},\,-\tfrac{170}{3\sqrt{110}},\;\tfrac{50}{3\sqrt{110}}\Bigr).
Racionalizando cada componente obtemos
\vec{w} =\Bigl(-\tfrac{26}{33}\sqrt{110},\,-\tfrac{17}{33}\sqrt{110},\;\tfrac{5}{33}\sqrt{110}\Bigr).

Resposta

\displaystyle\vec{w}=\Bigl(\,-\tfrac{26}{33}\sqrt{110},\,-\tfrac{17}{33}\sqrt{110},\;\tfrac{5}{33}\sqrt{110}\Bigr)

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