Considere os vetores \vec{u}=(2,-3), \vec{v}=(1,-1) e \vec{w}=(3,1) e o ponto A=(3,1). Nestas condições, encontre as coordenadas do ponto B, sabendo que \overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \vec{u}-2 \vec{v}-\vec{w} . \quad \mathrm{R} : B=(-1,1 / 2)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(2,-3), \vec{v}=(1,-1), \vec{w}=(3,1) e o ponto A=(3,1). Queremos achar o ponto B tal que
\overrightarrow{AB}=\tfrac12\vec{u}-2\vec{v}-\vec{w}.
Usaremos operações de vetores no plano e a relação entre pontos e vetores.

Passo 2

Recordando que, em coordenadas,
\overrightarrow{AB}=B-A,
temos
B = A + \overrightarrow{AB}.

Passo 3

Calculemos o vetor \overrightarrow{AB} pela combinação linear:
\overrightarrow{AB} = \tfrac12\vec{u} - 2\vec{v} - \vec{w} = \tfrac12(2,-3) - 2(1,-1) - (3,1).
Agora cada parcela:
\tfrac12(2,-3) = (1,-\tfrac32),\quad -2(1,-1) = (-2,2),\quad -(3,1) = (-3,-1).
Somando componente a componente,
\overrightarrow{AB} = \bigl(1-2-3,\,-\tfrac32+2-1\bigr) = (-4,\,-\tfrac12).

Passo 4

Finalmente, obtemos B somando \overrightarrow{AB} a A=(3,1):
B = (3,1) + (-4,-\tfrac12) = (3-4,\;1-\tfrac12) = \bigl(-1,\tfrac12\bigr).

Resposta

B = \bigl(-1,\tfrac12\bigr).

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