Considere um ponto escolhido ao acaso no intervalo [0, a]. Seja X a distância do ponto escolhido até a origem. Obtenha a função de distribuição de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a função de distribuição de $ X $, que é a distância de um ponto escolhido aleatoriamente no intervalo X até a origem. Isso está relacionado ao estudo de probabilidades e distribuições uniformes. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular a função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando escolhemos um ponto aleatório em [0, a], a variável $ X $ representa a distância desse ponto até a origem, que nesse caso é simplesmente o próprio valor do ponto, já que estamos medindo a partir de 0. Portanto, $ X $ também está distribuída uniformemente em X .

Passo 3

A função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória $ X $ é definida como $ F_X(x) = P(X \leq x) $. Isso significa que queremos calcular a probabilidade de que a distância $ X $ seja menor ou igual a um valor $ x $ qualquer dentro do intervalo X .

Passo 4

Como $ X $ está distribuída uniformemente em X , a probabilidade de $ X $ estar em qualquer subintervalo desse intervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Então, para encontrar $ P(X \leq x) $, basta calcular a razão entre o comprimento do intervalo [0, a] e o comprimento total X .

Passo 5

Matematicamente, isso fica:
FX(x) = Comprimento de [0, x]Comprimento de [0, a] = xa
Isso vale para $ 0 \leq x \leq a $.

Passo 6

Além disso, para completar a definição da função de distribuição, consideramos que para $ x < 0 $, $ F_X(x) = 0 $, e para $ x > a $, $ F_X(x) = 1 $.

Resposta

A função de distribuição de $ X $ é dada por:
X

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