Considere um ponto escolhido ao acaso no intervalo
. Seja
a distância do ponto escolhido até a origem. Obtenha a função de distribuição de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a função de distribuição de $ X $, que é a distância de um ponto escolhido aleatoriamente no intervalo
até a origem. Isso está relacionado ao estudo de probabilidades e distribuições uniformes. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular a função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando escolhemos um ponto aleatório em
, a variável $ X $ representa a distância desse ponto até a origem, que nesse caso é simplesmente o próprio valor do ponto, já que estamos medindo a partir de 0. Portanto, $ X $ também está distribuída uniformemente em
.
Passo 3
A função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória $ X $ é definida como $ F_X(x) = P(X \leq x) $. Isso significa que queremos calcular a probabilidade de que a distância $ X $ seja menor ou igual a um valor $ x $ qualquer dentro do intervalo
.
Passo 4
Como $ X $ está distribuída uniformemente em
, a probabilidade de $ X $ estar em qualquer subintervalo desse intervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Então, para encontrar $ P(X \leq x) $, basta calcular a razão entre o comprimento do intervalo
e o comprimento total
.
Passo 5
Matematicamente, isso fica:
Isso vale para $ 0 \leq x \leq a $.
Passo 6
Além disso, para completar a definição da função de distribuição, consideramos que para $ x < 0 $, $ F_X(x) = 0 $, e para $ x > a $, $ F_X(x) = 1 $.
Resposta
A função de distribuição de $ X $ é dada por: