Considere um ponto escolhido ao acaso no círculo do plano centrado na origem e de raio . Seja a distância do ponto escolhido até a origem. Verifique que é uma v.a. contínua e determine sua função de distribuição.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que a gente escolhe um ponto uniformemente num disco de raio centrado na origem. A variável aleatória é a distância desse ponto até a origem. O que a gente vai fazer é mostrar que é uma variável contínua e encontrar a função de distribuição . Para isso, vamos usar:
A noção de variável aleatória contínua e sua função de distribuição.
A ideia de “escolha uniforme” que faz a probabilidade ser proporcional à área.
A fórmula da área de um círculo, .
Passo 2
Antes de tudo, lembrar o que é uma função de distribuição:
Quando a gente fala que é contínua, significa basicamente que não há “saltos” em e que para todo . Aqui isso acontece porque o ponto pode cair em infinitos lugares dentro do disco, então a chance de ter exatamente uma distância exata é zero.
Passo 3
Agora, para um valor qualquer tal que , a condição corresponde ao ponto cair dentro de um círculo de raio . Como a escolha é uniforme,
Passo 4
Precisamos também cuidar dos casos fora desse intervalo:
Se , o evento é impossível, porque distância não é negativa. Logo .
Se , qualquer ponto do disco tem distância , então .
Resposta
A função de distribuição de é
E com isso mostramos que é de fato contínua e encontramos sua .