Considere um ponto escolhido ao acaso no círculo do plano centrado na origem e de raio r. Seja X a distância do ponto escolhido até a origem. Verifique que X é uma v.a. contínua e determine sua função de distribuição.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente escolhe um ponto uniformemente num disco de raio centrado na origem. A variável aleatória é a distância desse ponto até a origem. O que a gente vai fazer é mostrar que é uma variável contínua e encontrar a função de distribuição . Para isso, vamos usar:
  • A noção de variável aleatória contínua e sua função de distribuição.
  • A ideia de “escolha uniforme” que faz a probabilidade ser proporcional à área.
  • A fórmula da área de um círculo, .

Passo 2

Antes de tudo, lembrar o que é uma função de distribuição:
FX(x)=P(X<= x)
Quando a gente fala que é contínua, significa basicamente que não há “saltos” em e que para todo . Aqui isso acontece porque o ponto pode cair em infinitos lugares dentro do disco, então a chance de ter exatamente uma distância exata é zero.

Passo 3

Agora, para um valor qualquer P(X<= x) = área do círculo de raio xárea do disco de raio r = pi x^2pi r^2 = x^2r^2 tal que , a condição corresponde ao ponto cair dentro de um círculo de raio . Como a escolha é uniforme,
áíá

Passo 4

Precisamos também cuidar dos casos fora desse intervalo:
  • Se , o evento é impossível, porque distância não é negativa. Logo .
  • Se , qualquer ponto do disco tem distância , então .

Resposta

A função de distribuição de FX(x)= 0, & x<0,[6pt] dfracx^2r^2, & 0<= x<= r,[6pt] 1, & x>r é
E com isso mostramos que é de fato contínua e encontramos sua .

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