Seja o ponto
escolhido ao acaso no quadrado
. Seja
a v.a. que associa o número
ao ponto escolhido
. Obtenha a função de distribuição de
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um ponto
escolhido de forma aleatória dentro do quadrado
. A variável aleatória
é definida como a soma das coordenadas desse ponto, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de distribuição de
, que basicamente nos diz a probabilidade de
ser menor ou igual a um certo valor
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, denotada por
, é a probabilidade de que a variável aleatória
assuma um valor menor ou igual a
. Matemáticamente, isso é expresso como:
Passo 3
Como
e
estão uniformemente distribuídos no intervalo
, podemos visualizar isso no plano cartesiano. Para encontrar
, precisamos calcular a área dentro do quadrado
onde
.
Passo 4
Vamos dividir o problema em dois casos, dependendo do valor de
:
-
Quando
:
A região ondeforma um triângulo. A área desse triângulo é: -
Quando
:
Aqui, a regiãoé o quadrado inteiro menos um triângulo menor. A área é:
Passo 5
Agora, vamos então expressar a função de distribuição acumulada
com base nos dois casos:
-
Para
: -
Para
:
E, claro, para valores de
fora desse intervalo:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
A função de distribuição de
é dada por: