Seja o ponto (u, v) escolhido ao acaso no quadrado [0,1] times[0,1]. Seja X a v.a. que associa o número u+v ao ponto escolhido (u, v). Obtenha a função de distribuição de X.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um ponto (u, v) escolhido de forma aleatória dentro do quadrado [0,1] times [0,1]. A variável aleatória X é definida como a soma das coordenadas desse ponto, ou seja, X = u + v. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de distribuição de X, que basicamente nos diz a probabilidade de X ser menor ou igual a um certo valor x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, denotada por FX(x), é a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor menor ou igual a x. Matemáticamente, isso é expresso como:
FX(x) = P(X <= x)

Passo 3

Como X = u + v e u, v estão uniformemente distribuídos no intervalo [0,1], podemos visualizar isso no plano cartesiano. Para encontrar P(u + v <= x), precisamos calcular a área dentro do quadrado [0,1] times [0,1] onde u + v <= x.

Passo 4

Vamos dividir o problema em dois casos, dependendo do valor de x:
  1. Quando 0 <= x <= 1:
    A região onde u + v <= x forma um triângulo. A área desse triângulo é:
    Área = 12x^2 Á
  2. Quando 1 < x <= 2:
    Aqui, a região u + v <= x é o quadrado inteiro menos um triângulo menor. A área é:
    Área = 1 - 12(2 - x)^2 Á

Passo 5

Agora, vamos então expressar a função de distribuição acumulada FX(x) com base nos dois casos:
  • Para 0 <= x <= 1:
    FX(x) = 12x^2
  • Para 1 < x <= 2:
    FX(x) = 1 - 12(2 - x)^2
E, claro, para valores de x fora desse intervalo:
  • Para x < 0:
    FX(x) = 0
  • Para x > 2:
    FX(x) = 1

Resposta

A função de distribuição de X é dada por:
FX(x) = 0, & se x < 0 12x^2, & se 0 <= x <= 1 1 - 12(2 - x)^2, & se 1 < x <= 2 1, & se x > 2

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