Seja
. Determine a densidade de
, onde
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha $ e $ \lambda $, escrita como $ X \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) $. A tarefa é encontrar a função densidade de probabilidade da nova variável $ Y = cX $, onde $ c $ é uma constante positiva ($ c > 0 $). Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a transformação de variáveis em distribuições contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função densidade da distribuição Gama. A densidade de $ X \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) $ é dada por:
Aqui, $ \Gamma(\alpha) $ é a função gama, que generaliza o fatorial.
Passo 3
Agora, queremos achar a densidade de $ Y = cX $. Para isso, usamos o método de transformação de variáveis. A ideia é expressar $ X $ em termos de $ Y $ e ajustar a função densidade.
Sabemos que $ Y = cX $, então $ X = \frac{Y}{c} $. Precisamos também calcular o valor absoluto da derivada de $ X $ em relação a $ Y $, que é $ \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{c} $.
Passo 4
A fórmula geral para a transformação de variáveis é:
Substituindo $ X = \frac{y}{c} $ e $ \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{c} $ na função densidade de $ X $, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos $ \frac{y}{c} $ à potência $ \alpha - 1 $:
Multiplicando isso por $ \frac{1}{c} $, obtemos:
Substituindo de volta na expressão de $ f_Y(y) $:
Passo 6
Podemos reescrever isso para destacar a forma da densidade:
Isso mostra que $ Y $ também segue uma distribuição Gama, mas com parâmetros $ \alpha $ e $ \frac{\lambda}{c} $.
Resposta
A função densidade de $ Y = cX $ é: