Seja X sim Gama(alpha, lambda). Determine a densidade de
Y=c X, onde c>0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha $ e $ \lambda $, escrita como $ X \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) $. A tarefa é encontrar a função densidade de probabilidade da nova variável $ Y = cX $, onde $ c $ é uma constante positiva ($ c > 0 $). Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a transformação de variáveis em distribuições contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função densidade da distribuição Gama. A densidade de $ X \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) $ é dada por:
X sim Gama(alpha, lambda)
Aqui, $ \Gamma(\alpha) $ é a função gama, que generaliza o fatorial.

Passo 3

Agora, queremos achar a densidade de $ Y = cX $. Para isso, usamos o método de transformação de variáveis. A ideia é expressar $ X $ em termos de $ Y $ e ajustar a função densidade.
Sabemos que $ Y = cX $, então $ X = \frac{Y}{c} $. Precisamos também calcular o valor absoluto da derivada de $ X $ em relação a $ Y $, que é $ \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{c} $.

Passo 4

A fórmula geral para a transformação de variáveis é:
fY(y) = fX( yc ) cdot | dXdY |
Substituindo $ X = \frac{y}{c} $ e $ \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{c} $ na função densidade de $ X $, temos:
X = yc

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos $ \frac{y}{c} $ à potência $ \alpha - 1 $:
yc
Multiplicando isso por $ \frac{1}{c} $, obtemos:
alpha - 1
Substituindo de volta na expressão de $ f_Y(y) $:
( yc )^alpha - 1 = y^alpha - 1c^alpha - 1

Passo 6

Podemos reescrever isso para destacar a forma da densidade:
fY(y) = ( lambdac )^alphaGamma(alpha) y^alpha - 1 e^-lambdac y, y > 0
Isso mostra que $ Y $ também segue uma distribuição Gama, mas com parâmetros $ \alpha $ e $ \frac{\lambda}{c} $.

Resposta

A função densidade de $ Y = cX $ é:
Y = cX

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