Considere um ponto escolhido ao acaso no intervalo
. Seja
a distância do ponto escolhido até a origem. Obtenha a função de distribuição de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente escolhe um ponto aleatório em [0, a], então X é essa posição (ou seja, X ~ Uniforme(0,a)). Depois define Y = min{X, a/2}. O que a gente quer é a função de distribuição de Y, isto é
Para resolver vamos precisar:
- Saber o que é cdf e como ela se comporta;
- Entender que “min” “trunca” X em a/2;
- Analisar casos de y (menor que 0, entre 0 e a/2, maior que a/2).
Passo 2
Definição de cdf:
Como Y = min(X,a/2), o valor de Y nunca passa de a/2. Então faz sentido olhar em três intervalos de y:
- y < 0,
- 0 ≤ y < a/2,
- y ≥ a/2.
Passo 3
Caso y < 0:
Nenhum valor de Y pode ser ≤ y, porque Y ≥ 0 sempre. Logo
Nenhum valor de Y pode ser ≤ y, porque Y ≥ 0 sempre. Logo
Passo 4
Caso 0 ≤ y < a/2:
Se queremos P(Y ≤ y) e y < a/2, então o evento {Y ≤ y} só ocorre quando X ≤ y (pois, enquanto X < a/2, Y = X). Para X uniformemente distribuído em [0,a] vale
Se queremos P(Y ≤ y) e y < a/2, então o evento {Y ≤ y} só ocorre quando X ≤ y (pois, enquanto X < a/2, Y = X). Para X uniformemente distribuído em [0,a] vale
Assim, para 0 ≤ y < a/2,
Passo 5
Caso y ≥ a/2:
Agora Y nunca ultrapassa a/2, então se y ≥ a/2, automaticamente Y ≤ y acontece sempre. Ou seja,
Agora Y nunca ultrapassa a/2, então se y ≥ a/2, automaticamente Y ≤ y acontece sempre. Ou seja,
Resposta
A função de distribuição de Y = min(X,a/2) é