Considere um ponto escolhido ao acaso no intervalo [0, a]. Seja X a distância do ponto escolhido até a origem. Obtenha a função de distribuição de Y=min X, a / 2.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente escolhe um ponto aleatório em [0, a], então X é essa posição (ou seja, X ~ Uniforme(0,a)). Depois define Y = min{X, a/2}. O que a gente quer é a função de distribuição de Y, isto é
FY(y) ;=; P(Y <= y)
Para resolver vamos precisar:
  1. Saber o que é cdf e como ela se comporta;
  2. Entender que “min” “trunca” X em a/2;
  3. Analisar casos de y (menor que 0, entre 0 e a/2, maior que a/2).

Passo 2

Definição de cdf:
FY(y) = P(Y <= y)
Como Y = min(X,a/2), o valor de Y nunca passa de a/2. Então faz sentido olhar em três intervalos de y:
  • y < 0,
  • 0 ≤ y < a/2,
  • y ≥ a/2.

Passo 3

Caso y < 0:
Nenhum valor de Y pode ser ≤ y, porque Y ≥ 0 sempre. Logo
FY(y)=P(Y<= y)=0, y<0

Passo 4

Caso 0 ≤ y < a/2:
Se queremos P(Y ≤ y) e y < a/2, então o evento {Y ≤ y} só ocorre quando X ≤ y (pois, enquanto X < a/2, Y = X). Para X uniformemente distribuído em [0,a] vale
P(X<= y)=y-0a-0=ya
Assim, para 0 ≤ y < a/2,
FY(y)=P(Y<= y)=P(X<= y)=ya

Passo 5

Caso y ≥ a/2:
Agora Y nunca ultrapassa a/2, então se y ≥ a/2, automaticamente Y ≤ y acontece sempre. Ou seja,
FY(y)=1, y>= a/2

Resposta

A função de distribuição de Y = min(X,a/2) é
FY(y)= 0, & y<0,[6pt] dfracya, & 0<= y= tfraca2

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