Escolhe-se um ponto ao acaso no intervalo (-10,10). Seja X uma v.a. definida de tal forma que X represente a coordenada do ponto escolhido se o mesmo estiver em [-5,5], X=-5 se o ponto escolhido estiver em (-10,-5) e X=5 se o ponto escolhido estiver em (5,10). Obtenha a função de distribuição de X. (Sugestão: considere a v.a. Y como sendo o ponto escolhido).

Passo 1

Beleza, vamos fazer um resumo do que tá rolando: a gente escolhe um ponto FX(x)=P(X<= x) uniformemente em . Aí definem a variável assim:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
O que a gente quer é a função de distribuição acumulada de , que é
O conteúdo aqui é “função de distribuição” de uma variável mista (tem parte discreta e parte contínua). Pra resolver, vamos precisar usar a definição de e calcular probabilidades de intervalos em .

Passo 2

Primeiro, qual a chance de cair na parte discreta?
  • P(X=-5)=520=14 . Como P(X=5)=Pl(Yin(5,10)r)=520=14 é uniforme em , a densidade é e o comprimento desse intervalo é , então
  • Do mesmo jeito,
O restante da probabilidade, que vale , fica na parte contínua em , e lá é igual a com densidade .

Passo 3

Lembrando que
FX(x)=P(X<= x),
vamos analisar em três faixas de FX(x)=0 :
  1. integral-5^x120,dy = x-(-5)20=x+520 :
    Não há chance de FX(x)=14 + x+520 ficar menor que FX(x)=1 , porque nem o ponto nem nada da parte contínua entra aí.
  2. :
    Até esse , entram
    • todos os casos (probabilidade ),
    • mais os pontos de da parte contínua.
    A probabilidade de (ou ) cair em é
    Somando a parte discreta:
  3. :
    Aí cabe toda a probabilidade: os de , os da contínua e os de .

Resposta

A função de distribuição de FX(x)= 0, & x< -5,[6pt] dfrac14 + dfracx+520, & -5 <= x<5,[8pt] 1, & x>=5 fica:

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