Escolhe-se um ponto ao acaso no intervalo
. Seja
uma v.a. definida de tal forma que
represente a coordenada do ponto escolhido se o mesmo estiver em
se o ponto escolhido estiver em
e
se o ponto escolhido estiver em
. Obtenha a função de distribuição de
. (Sugestão: considere a v.a.
como sendo o ponto escolhido).
Passo 1
Beleza, vamos fazer um resumo do que tá rolando: a gente escolhe um ponto
uniformemente em
. Aí definem a variável
assim:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
O que a gente quer é a função de distribuição acumulada de
, que é
O conteúdo aqui é “função de distribuição” de uma variável mista (tem parte discreta e parte contínua). Pra resolver, vamos precisar usar a definição de
e calcular probabilidades de intervalos em
.
Passo 2
Primeiro, qual a chance de cair na parte discreta?
-
. Como é uniforme em , a densidade é e o comprimento desse intervalo é , então - Do mesmo jeito,
O restante da probabilidade, que vale
, fica na parte contínua em
, e lá
é igual a
com densidade
.
Passo 3
Lembrando que
vamos analisar em três faixas de
:
-
:
Não há chance deficar menor que , porque nem o ponto nem nada da parte contínua entra aí. -
:
Até esse, entram - todos os casos
(probabilidade ), - mais os pontos de
da parte contínua.
A probabilidade de(ou ) cair em é Somando a parte discreta: - todos os casos
-
:
Aí cabe toda a probabilidade: osde , os da contínua e os de .
Resposta
A função de distribuição de
fica: