Verifique que:
se, e só se,
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos recortar o que o exercício pede. Ele diz que se
é uma Cauchy padrão, isto é
então a variável
também é Cauchy, mas com parâmetros deslocamento
e “escala”
:
e vice-versa.
O conteúdo da matéria aqui é a fórmula de mudança de variável para densidade de probabilidade (variável aleatória contínua). Para provar a afirmação, vamos usar:
O conteúdo da matéria aqui é a fórmula de mudança de variável para densidade de probabilidade (variável aleatória contínua). Para provar a afirmação, vamos usar:
- a densidade da Cauchy
é e em particular, para , - se
é monotônica e diferenciável,
Passo 2
Vamos mostrar primeiro “
X=Y-Mb, ddyl(y-Mbr)=1b
fY(y) =fX!l(tfracy-Mbr),l|tfrac1br| =1b;1pil(1+(tfracy-Mb)^2r)
1+(tfracy-Mb)^2 =b^2+(y-M)^2b^2 ;Longrightarrow; 1b;11+(tfracy-Mb)^2 =bb^2+(y-M)^2 ”.
- Defino
. ComofY(y) =bpil(b^2+(y-M)^2r) =raiz,b^2,pil(b^2+(y-M)^2r), , a inversa é - Aplico a fórmula de mudança de variável:
- Reescrevo esse raio de forma igual à de Cauchy
. Note que
Portanto
que bate direitinho com a densidade de
.
Passo 3
Agora provamos a volta: se
então definindo
(com
fX(x) =fY(bx+M),l|br| =raizb^2pil(b^2+(bx+M-M)^2r);b =1pi(1+x^2), ) e repetindo o mesmo cálculo de mudança de variável, obtemos
que é exatamente a densidade de
.
Resposta
Mostramos que