Verifique que:
X sim Cauchy(0,1) se, e só se, b X+M sim Cauchy(M, b^2), onde M in R e b>0.

Passo 1

Beleza, vamos recortar o que o exercício pede. Ele diz que se Xsim Cauchy(0,1), é uma Cauchy padrão, isto é
Y = b,X + M
então a variável
Ysim Cauchyl(M,,b^2r),
também é Cauchy, mas com parâmetros deslocamento f(x)=raizthetapil(theta+(x-x0)^2r), e “escala” fX(x)=1pi,(1+x^2) :
fY(y)=fXl(g^-1(y)r),l|tfracddyg^-1(y)r|
e vice-versa.
O conteúdo da matéria aqui é a fórmula de mudança de variável para densidade de probabilidade (variável aleatória contínua). Para provar a afirmação, vamos usar:
  1. a densidade da Cauchy é e em particular, para ,
  2. se é monotônica e diferenciável,

Passo 2

Vamos mostrar primeiro “ X=Y-Mb, ddyl(y-Mbr)=1b fY(y) =fX!l(tfracy-Mbr),l|tfrac1br| =1b;1pil(1+(tfracy-Mb)^2r) 1+(tfracy-Mb)^2 =b^2+(y-M)^2b^2 ;Longrightarrow; 1b;11+(tfracy-Mb)^2 =bb^2+(y-M)^2 ”.
  1. Defino fY(y) =bpil(b^2+(y-M)^2r) =raiz,b^2,pil(b^2+(y-M)^2r), . Como , a inversa é
  2. Aplico a fórmula de mudança de variável:
  3. Reescrevo esse raio de forma igual à de Cauchy . Note que
Portanto
que bate direitinho com a densidade de .

Passo 3

Agora provamos a volta: se
Ysim Cauchy(M,b^2),
então definindo
X=Y-Mb
(com fX(x) =fY(bx+M),l|br| =raizb^2pil(b^2+(bx+M-M)^2r);b =1pi(1+x^2), ) e repetindo o mesmo cálculo de mudança de variável, obtemos
que é exatamente a densidade de .

Resposta

Mostramos que
XsimCauchy(0,1) iff bX+MsimCauchyl(M,b^2r)

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