Verifique que:
X sim N(0,1) se, e só se, sigma X+mu sim N(mu, sigma^2), onde mu in R e sigma>0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a variável aleatória padrão
Xsim N(0,1)
se, e somente se, a variável linear
Y = sigma X + mu
segue uma normal com média Ysim N(mu,sigma^2), e variância , ou seja

Conteúdo envolvido: distribuição normal, densidade de probabilidade e mudança de variável. Vamos usar a fórmula de transformação de pdf para uma função bijetora .

Passo 2

Direto: “ fX(x) = 1raiz2pi,e^-x^2/2, implica x = g^-1(y) = y-musigma,, .”
  1. A pdf de fY(y) = fXl(g^-1(y)r),l|ddyg^-1(y)r| = 1raiz2piexp!l(-tfrac12l(tfracy-musigmar)^2r),1sigma é
-tfrac12l(tfracy-musigmar)^2 = -(y-mu)^22sigma^2,,
  1. Definimos fY(y) = 1sigmaraiz2piexp!l(-(y-mu)^22sigma^2r), . Essa função é invertível:
e .
3) Pela regra de mudança de variável,
  1. Organizando o expoente:
ficando
que é exatamente a pdf de .

Passo 3

O “se e somente se” pede também o inverso: “ fY(y) = 1sigmaraiz2pi,e^-(y-mu)^22sigma^2 implica fX(x) = fYl(sigma x + mur),l|ddx(sigma x+mu)r| = 1sigmaraiz2pi,e^-(sigma x+mu-mu)^22sigma^2,sigma = 1raiz2pie^-x^2/2, .”
  1. Suponha tem pdf
  1. Defina . A inversa é e .
  2. Pela mudança de variável,
ou seja, .

Resposta

Mostramos as duas direções, logo
Xsim N(0,1)Long<=ftrightarrow sigma X+musim N(mu,sigma^2)

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