Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a variável aleatória padrão
se, e somente se, a variável linear
segue uma normal com média e variância , ou seja
Conteúdo envolvido: distribuição normal, densidade de probabilidade e mudança de variável. Vamos usar a fórmula de transformação de pdf para uma função bijetora .
Passo 2
Direto: “ implica .”
A pdf de é
Definimos . Essa função é invertível:
e .
3) Pela regra de mudança de variável,
Organizando o expoente:
ficando
que é exatamente a pdf de .
Passo 3
O “se e somente se” pede também o inverso: “ fY(y) = 1sigmaraiz2pi,e^-(y-mu)^22sigma^2 implica fX(x) = fYl(sigma x + mur),l|ddx(sigma x+mu)r| = 1sigmaraiz2pi,e^-(sigma x+mu-mu)^22sigma^2,sigma = 1raiz2pie^-x^2/2, .”