Considere o ponto
sobre o eixo
e o gráfico da função
. Determine o valor da abscissa
tal que a distância entre o ponto
e
seja a menor possível.
[Obs: para resposta não inteira usar 2 casas decimais após a vírgula]
[Obs: para resposta não inteira usar 2 casas decimais após a vírgula]
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto $ P = (4, 0) $ no eixo $ x $ e o gráfico da função $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 4x + 4} $ para $ x \geq -1 $. A tarefa é encontrar o valor da abscissa $ a $ que faz com que a distância entre o ponto $ (a, f(a)) $ e $ P $ seja a menor possível.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Observando a expressão dentro da raiz:
Podemos reescrever o que está dentro da raiz como um quadrado perfeito:
Então, a função fica:
Como $ x \geq -1 $, temos $ x + 2 \geq 1 $, que é sempre positivo. Portanto:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distância entre o ponto $ (a, f(a)) $ e $ P = (4, 0) $. A fórmula da distância $ d $ entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Mas sabemos que $ f(a) = a + 2 $, então substituindo:
Passo 4
Para encontrar o mínimo dessa distância, vamos minimizar $ d(a) $. Porém, como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar o quadrado da distância $ d(a)^{2} $ para facilitar os cálculos:
Vamos expandir essa expressão:
Passo 5
Agora, temos uma função quadrática em $ a $:
Para encontrar o valor de $ a $ que minimiza essa função, podemos utilizar a fórmula do vértice da parábola. Para uma função da forma $ f(a) = ma^{2} + na + p $, o valor de $ a $ no vértice é:
Aplicando isso à nossa função:
Então:
Passo 6
Portanto, o valor da abscissa $ a $ que minimiza a distância é $ a = 1 $.
Resposta
O valor da abscissa $ a $ que minimiza a distância é $ 1 $.