Dada a função
Determinar os intervalos onde a função é crescente e decrescente.
Determinar os intervalos onde a função é crescente e decrescente.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é monotonicidade de funções via derivadas: para resolver, vamos precisar calcular
e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Calcular a derivada de
. Lembrando que derivada de
é
e derivada de soma é soma das derivadas. Logo,
Passo 3
Achar os pontos críticos, ou seja, as raízes de
. Vamos resolver
Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 4
Agora, precisamos estudar o sinal de
. Como é um polinômio de grau 2 com coeficiente principal positivo, ele é positivo fora das raízes e negativo entre elas. Ou seja, em
e
temos
, e em
temos
.
Passo 5
Como derivada positiva significa função crescente e derivada negativa significa decrescente, usamos o estudo de sinais de
para mapear os intervalos de crescimento e decrescimento.
Resposta
A função é crescente em
e decrescente em
.