Dada a função f(x)=x^3-2 x^2-x-1
Determinar os intervalos onde a função é crescente e decrescente.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3-2x^2-x-1. O conteúdo aqui é monotonicidade de funções via derivadas: para resolver, vamos precisar calcular f'(x) e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Calcular a derivada de f. Lembrando que derivada de x^n é n x^n-1 e derivada de soma é soma das derivadas. Logo,
f'(x)=3x^2-4x-1

Passo 3

Achar os pontos críticos, ou seja, as raízes de f'(x)=0. Vamos resolver
3x^2-4x-1=0
Pela fórmula de Bhaskara,
x=4pmraiz(-4)^2-4cdot3cdot(-1)2cdot3 =4pmraiz16+126 =4pm2raiz76 =2pmraiz73

Passo 4

Agora, precisamos estudar o sinal de f'(x)=3x^2-4x-1. Como é um polinômio de grau 2 com coeficiente principal positivo, ele é positivo fora das raízes e negativo entre elas. Ou seja, em (tfrac2+raiz73,+infty) e f'(x)>0 temos (tfrac2-raiz73,tfrac2+raiz73), e em f'(x)<0 temos .

Passo 5

Como derivada positiva significa função crescente e derivada negativa significa decrescente, usamos o estudo de sinais de f'(x) para mapear os intervalos de crescimento e decrescimento.

Resposta

A função é crescente em (tfrac2-raiz73,tfrac2+raiz73) e decrescente em .

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