Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
sumn=1^infty(n3 n+1)^n

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^inftyl(tfracn3n+1r)^n converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste da raiz (root test) para séries, e vamos precisar usar o limite da n-ésima raiz de cada termo.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da raiz. Para an=l(tfracn3n+1r)^n, consideramos o limite
$$
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}. L=limntoinftyraiz[n]|an|=limntoinftyn3n+1
\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3+1/n}\longrightarrow\frac{1}{3},
$$
temos n3n+1=13+1/nlongrightarrow13, .

Passo 3

Pelo teste da raiz, se L<1 então a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite da n-ésima raiz é 1/3<1).

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