Quais das séries nos exercícios 1-36 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas.
Passo 1
O exercício pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste da raiz (root test) para séries, e vamos precisar usar o limite da
-ésima raiz de cada termo.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da raiz. Para
, consideramos o limite
$$
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}.
\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3+1/n}\longrightarrow\frac{1}{3},
$$
temos .
temos
Passo 3
Pelo teste da raiz, se
então a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite da
-ésima raiz é
).