Considere os pontos A=(2,-1) e B=(10,7). Ache pontos C, D e E que dividem o segmento A B em quatro partes iguais

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(2,-1) e B=(10,7). O que é pedido: achar pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes iguais, ou seja, três pontos internos que junto com A e B formam quatro subsegmentos consecutivos de mesmo comprimento.
Informações relevantes do enunciado:
  • A=(2,-1).
  • B=(10,7).
  • Procuram-se C, D e E tais que os segmentos AC, CD, DE e EB tenham todos o mesmo comprimento.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): dividir um segmento em partes iguais é equivalente a percorrer o vetor que vai de A a B em passos iguais. Seja o vetor \overrightarrow{AB} obtido subtraindo coordenadas de A das de B. Se esse vetor for \overrightarrow{AB}=(\Delta x,\Delta y), então um passo que percorre uma fração t do segmento dá um ponto cujas coordenadas são
(x,y)=(x_A + t\Delta x,\; y_A + t\Delta y).
Aqui x_A,y_A são as coordenadas de A, e \Delta x = x_B-x_A, \Delta y = y_B-y_A. Explicando: t=0 A, t=1 B, e valores intermediários dão pontos no segmento.
Para dividir em quatro partes iguais precisamos dos pontos nos parâmetros
t=\frac{1}{4},\quad t=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\quad t=\frac{3}{4}.

Passo 3

Calculemos o vetor \overrightarrow{AB}. Usando as coordenadas dadas:
\Delta x = x_B - x_A = 10 - 2 = 8,
\Delta y = y_B - y_A = 7 - (-1) = 8.
Portanto
\overrightarrow{AB}=(\Delta x,\Delta y)=(8,8).
Interpretação: para ir de A a B somamos 8 na coordenada x e 8 na coordenada y.

Passo 4

O passo uniforme (incremento) que corresponde a uma quarta parte do segmento é \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}. Calculando:
\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{8}{4},\frac{8}{4}\right)=(2,2).
Isso significa que cada subsegmento avança +2 em x e +2 em y a partir do ponto anterior.

Passo 5

Agora obtemos os pontos somando os incrementos a partir de A.
  • Ponto C (primeira quarta parte, t=\tfrac{1}{4}):
C = A + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = (2,-1)+(2,2)=(2+2,\,-1+2)=(4,1).
  • Ponto D (segunda quarta, t=\tfrac{1}{2}):
D = A + \frac{2}{4}\overrightarrow{AB} = (2,-1)+2(2,2)=(2+4,\,-1+4)=(6,3).
  • Ponto E (terceira quarta, t=\tfrac{3}{4}):
E = A + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} = (2,-1)+3(2,2)=(2+6,\,-1+6)=(8,5).

Passo 6

Verificação rápida dos comprimentos para garantir que ficaram iguais. Fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Calcule distância entre pontos consecutivos (por exemplo A e C):
\text{dist}(A,C)=\sqrt{(4-2)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}.
Mesma conta para C a D, D a E e E a B: cada uma dá \sqrt{8}. Logo os quatro subsegmentos têm igual comprimento, conforme pedido.

Passo 7

Dica para a prova: sempre que for dividir um segmento em n partes iguale, calcule \overrightarrow{AB}, divida por n para obter o incremento, e some sucessivamente a A. Isso evita erros de conta e é rápido de aplicar.

Resposta

(4,1)
(6,3)
(8,5)

Exercícios relacionados