Considere os vetores
e
.
a) Se
, determine
e
tais que
.
b) Se
é um vetor qualquer do plano, é possível escrever
como uma combinação linear de
e
? Se for impossível, justifique. Se for possível, determine
e
em função de
e
, de modo que
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado dá os vetores
-
, -
.
Perguntas:
- (a) Para
, determinar e tais que . - (b) Para um vetor arbitrário
, dizer se é possível escrevê-lo como combinação linear de e . Se for possível, determinar e em função de e tais que .
Informações relevantes dadas:
- Coordenadas de
e (listadas acima). - Para a parte (a) os valores numéricos de
são e . - Para a parte (b) os componentes de
são genéricos: e .
Passo 2
Entender o que "escrever
então, escrevendo coordenadas, se
,
e
, obtemos o sistema linear em
:
Explicando cada termo:
-
; suas contribuições nas duas coordenadas são
(primeira) e (segunda). -
multiplica ; suas contribuições são e . - Somando essas contribuições obtemos as coordenadas
e de .
Portanto, resolver o problema é resolver esse sistema para
. Vou primeiro aplicar isso ao caso numérico (a) e depois tratar o caso geral (b).]
Passo 3
Parte (a): resolver para
(Vou usar eliminação linear — método simples e confiável em prova.)
Multiplicar a segunda equação por
:
Somar esta equação à primeira:
Logo
Agora encontrar
usando a segunda equação original
. Substituindo
:
Passando
para o outro lado:
então
Portanto, os coeficientes procurados são
e
.]
Passo 4
Verificação (sempre bom na prova): calcular
com os valores encontrados e checar se dá
.
Calcular a primeira coordenada:
Segunda coordenada:
Confere: obtemos
. Bom sinal de que os cálculos estão corretos.
Passo 5
Parte (b): perguntar se qualquer
pode ser escrito assim. A resposta depende de a matriz formada pelos vetores
ser ou não invertível (i.e., se as colunas são linearmente independentes).
Formar a matriz cujas colunas são
e
:
Calcular o determinante de
:
Como
, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes. Isso significa duas coisas importantes, explicadas de forma direta:
- As colunas de
(isto é, e ) geram todo o plano . Logo, para qualquer existe solução. - A solução é única (porque a matriz é invertível).
Portanto, é possível escrever qualquer
como combinação linear de
e
, e os coeficientes são únicos.]
Passo 6
Agora determinamos explicitamente
Vou eliminar
:
Somando com a primeira:
Substituir
na primeira equação para achar
:
Calcular a fração:
Passar a fração para o outro lado:
Dividir por
:
Concluímos as fórmulas gerais:
(Síntese: para qualquer
os coeficientes existem e são dados pelas expressões acima.)]