Considere os vetores \vec{u}=(3,-1) e \vec{v}=(2,4).
a) Se \vec{w}=(13,9), determine a_{1} e a_{2} tais que \vec{w}=a_{1} \vec{u}+a_{2} \vec{v}.
b) Se \vec{w}=(a, b) é um vetor qualquer do plano, é possível escrever \vec{w} como uma combinação linear de \vec{u} e \vec{v} ? Se for impossível, justifique. Se for possível, determine x_{1} e x_{2} em função de a e b, de modo que \vec{w}=x_{1} \vec{u}+x_{2} \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
  • \vec{u}=(3,-1),
  • \vec{v}=(2,4).
Perguntas:
  1. (a) Para \vec{w}=(13,9), determinar a_{1} e a_{2} tais que \vec{w}=a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}.
  2. (b) Para um vetor arbitrário \vec{w}=(a,b), dizer se é possível escrevê-lo como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Se for possível, determinar x_{1} e x_{2} em função de a e b tais que \vec{w}=x_{1}\vec{u}+x_{2}\vec{v}.
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas de \vec{u} e \vec{v} (listadas acima).
  • Para a parte (a) os valores numéricos de \vec{w} são 13 e 9.
  • Para a parte (b) os componentes de \vec{w} são genéricos: a e b.

Passo 2

Entender o que "escrever \vec{w}\) como combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\)" significa traduzir isso em equações. Se existirem escalares \(x_{1}\) e \(x_{2}\) tais que \[\vec{w}=x_{1}\vec{u}+x_{2}\vec{v},
então, escrevendo coordenadas, se \vec{u}=(3,-1), \vec{v}=(2,4) e \vec{w}=(a,b), obtemos o sistema linear em x_{1},x_{2}:
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}=a,\\[4pt] -1x_{1}+4x_{2}=b. \end{cases}
Explicando cada termo:
  • x_{1}\] multiplica o vetor \(\vec{u}; suas contribuições nas duas coordenadas são 3x_{1} (primeira) e -1x_{1} (segunda).
  • x_{2} multiplica \vec{v}; suas contribuições são 2x_{2} e 4x_{2}.
  • Somando essas contribuições obtemos as coordenadas a e b de \vec{w}.
Portanto, resolver o problema é resolver esse sistema para x_{1},x_{2}. Vou primeiro aplicar isso ao caso numérico (a) e depois tratar o caso geral (b).]

Passo 3

Parte (a): resolver para \vec{w}=(13,9)\). Substituindo \(a=13\) e \(b=9\) no sistema: \[\begin{cases} 3a_{1}+2a_{2}=13,\\[4pt] - a_{1}+4a_{2}=9. \end{cases}
(Vou usar eliminação linear — método simples e confiável em prova.)
Multiplicar a segunda equação por 3\] para alinhar os coeficientes de \(a_{1}:
-3a_{1}+12a_{2}=27.
Somar esta equação à primeira:
(3a_{1}-3a_{1})+(2a_{2}+12a_{2})=13+27 \quad\Rightarrow\quad 14a_{2}=40.
Logo
a_{2}=\frac{40}{14}=\frac{20}{7}.
Agora encontrar a_{1} usando a segunda equação original -a_{1}+4a_{2}=9. Substituindo a_{2}=\dfrac{20}{7}:
- a_{1}+4\cdot\frac{20}{7}=9 \quad\Rightarrow\quad - a_{1}+\frac{80}{7}=9.
Passando \dfrac{80}{7} para o outro lado:
- a_{1}=9-\frac{80}{7}=\frac{63-80}{7}=-\frac{17}{7},
então
a_{1}=\frac{17}{7}.
Portanto, os coeficientes procurados são a_{1}=\dfrac{17}{7} e a_{2}=\dfrac{20}{7}.]

Passo 4

Verificação (sempre bom na prova): calcular a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v} com os valores encontrados e checar se dá (13,9).
Calcular a primeira coordenada:
3\cdot\frac{17}{7}+2\cdot\frac{20}{7}=\frac{51}{7}+\frac{40}{7}=\frac{91}{7}=13.
Segunda coordenada:
-1\cdot\frac{17}{7}+4\cdot\frac{20}{7}=-\frac{17}{7}+\frac{80}{7}=\frac{63}{7}=9.
Confere: obtemos (13,9). Bom sinal de que os cálculos estão corretos.

Passo 5

Parte (b): perguntar se qualquer \vec{w}=(a,b) pode ser escrito assim. A resposta depende de a matriz formada pelos vetores \vec{u},\vec{v} ser ou não invertível (i.e., se as colunas são linearmente independentes).
Formar a matriz cujas colunas são \vec{u} e \vec{v}:
A=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}.
Calcular o determinante de A:
\det(A)=3\cdot 4 - 2\cdot(-1)=12+2=14.
Como \det(A)=14\neq 0, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes. Isso significa duas coisas importantes, explicadas de forma direta:
  • As colunas de A (isto é, \vec{u} e \vec{v}) geram todo o plano \mathbb{R}^{2}. Logo, para qualquer (a,b) existe solução.
  • A solução é única (porque a matriz é invertível).
Portanto, é possível escrever qualquer \vec{w}=(a,b) como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}, e os coeficientes são únicos.]

Passo 6

Agora determinamos explicitamente x_{1}\) e \(x_{2}\) em função de \(a\) e \(b\). Voltar ao sistema geral: \[\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}=a,\\[4pt] - x_{1}+4x_{2}=b. \end{cases}
Vou eliminar x_{1}\] como na parte (a). Multiplicar a segunda equação por \(3:
-3x_{1}+12x_{2}=3b.
Somando com a primeira:
14x_{2}=a+3b \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{a+3b}{14}.
Substituir x_{2} na primeira equação para achar x_{1}:
3x_{1}+2\cdot\frac{a+3b}{14}=a.
Calcular a fração:
3x_{1}+\frac{2a+6b}{14}=a \quad\Rightarrow\quad 3x_{1}+\frac{a+3b}{7}=a.
Passar a fração para o outro lado:
3x_{1}=a-\frac{a+3b}{7}=\frac{7a-(a+3b)}{7}=\frac{6a-3b}{7}.
Dividir por 3:
x_{1}=\frac{6a-3b}{21}=\frac{2a-b}{7}.
Concluímos as fórmulas gerais:
x_{1}=\frac{2a-b}{7},\qquad x_{2}=\frac{a+3b}{14}.
(Síntese: para qualquer \vec{w}=(a,b) os coeficientes existem e são dados pelas expressões acima.)]

Resposta

a_{1}=\dfrac{17}{7},\\ a_{2}=\dfrac{20}{7}
x_{1}=\dfrac{2a-b}{7},\\ x_{2}=\dfrac{a+3b}{14}

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