Resolva as seguintes EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
O que é pedido: encontrar a solução geral
definida para
. As informações relevantes que temos:
- A equação é linear de primeira ordem com coeficiente de
igual a . - O termo do lado direito (forçamento) é
. - O domínio indicado é
(importante para operações que envolvem ou dividir por ).
Passo 2
Escolhendo o método (explicação rápida e por que funciona): como a equação está na forma
com
e
, a técnica natural e mais direta é usar um fator integrante. O fator integrante transforma o lado esquerdo numa derivada exata de um produto, o que permite integrar de forma direta. Isso funciona bem aqui porque
é uma função cuja integral é simples.
Passo 3
Definir o fator integrante
. Por definição,
Como
,
e portanto
Observação: o domínio
foi usada aqui para garantir que
está bem definida e
é positiva.
Passo 4
Multiplicar a ODE por
. Isso dá
ou seja
Agora reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Logo a equação fica
Passo 5
Integrar em ambos os lados com respeito a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Passo 6
Calcular
por partes (vou lembrar a fórmula e aplicar passo a passo):
- Fórmula de integração por partes:
.
Escolho(então ) e (então , porque ).
Aplicando,
Calcular a segunda integral:
. Assim
Multiplicando por
,
onde já incorporei a constante.
Passo 7
Voltar para a expressão para
. Temos
Dividindo por
(novamente válido porque
), obtemos a solução geral
Passo 8
Interpretação e verificação rápida:
- A solução geral pode ser escrita como soma da solução homogênea e de uma particular:
- Solução homogênea:
, obtida resolvendo . - Uma solução particular:
.
- Solução homogênea:
- Em prova: se quiser checar, basta derivar
e substituir na equação original; as contas darão . - Nota sobre comportamento: o termo
domina perto de (diverge, a menos que ), enquanto os termos trigonométricos são limitados. Isso é compatível com o domínio .