Resolva as seguintes EDOs lineares de primeira ordem.
y^{\prime}(t)+(1 / t) y(t)=3 cos 2 t, t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t)+\frac{1}{t}\,y(t)=3\cos 2t,\qquad t>0.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(t) definida para t>0. As informações relevantes que temos:
  • A equação é linear de primeira ordem com coeficiente de y igual a \dfrac{1}{t}.
  • O termo do lado direito (forçamento) é 3\cos 2t.
  • O domínio indicado é t>0 (importante para operações que envolvem \ln t ou dividir por t).

Passo 2

Escolhendo o método (explicação rápida e por que funciona): como a equação está na forma
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t)
com p(t)=\dfrac{1}{t} e q(t)=3\cos 2t, a técnica natural e mais direta é usar um fator integrante. O fator integrante transforma o lado esquerdo numa derivada exata de um produto, o que permite integrar de forma direta. Isso funciona bem aqui porque p(t) é uma função cuja integral é simples.

Passo 3

Definir o fator integrante \mu(t). Por definição,
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{1}{t}\,dt\right).
Como t>0, \int \frac{1}{t}\,dt=\ln t e portanto
\mu(t)=\exp(\ln t)=t.
Observação: o domínio t>0 foi usada aqui para garantir que \ln t está bem definida e \mu(t)=t é positiva.

Passo 4

Multiplicar a ODE por \mu(t)=t. Isso dá
t\,y'(t)+\bigl(t\cdot\tfrac{1}{t}\bigr)y(t)=t\cdot 3\cos 2t,
ou seja
t\,y'(t)+y(t)=3t\cos 2t.
Agora reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto t\,y(t), pois
\frac{d}{dt}\bigl(t\,y(t)\bigr)=t\,y'(t)+y(t).
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\bigl(t\,y(t)\bigr)=3t\cos 2t.

Passo 5

Integrar em ambos os lados com respeito a t:
t\,y(t)=\int 3t\cos 2t\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
\int 3t\cos 2t\,dt = 3\int t\cos 2t\,dt.

Passo 6

Calcular \int t\cos 2t\,dt por partes (vou lembrar a fórmula e aplicar passo a passo):
  • Fórmula de integração por partes: \displaystyle \int u\,dv = u v - \int v\,du.
    Escolho u=t (então du=dt) e dv=\cos 2t\,dt (então v=\tfrac{1}{2}\sin 2t, porque \int \cos 2t\,dt=\tfrac{1}{2}\sin 2t).
    Aplicando,
\int t\cos 2t\,dt = t\cdot\frac{1}{2}\sin 2t - \int \frac{1}{2}\sin 2t\,dt.
Calcular a segunda integral: \displaystyle \int \sin 2t\,dt = -\tfrac{1}{2}\cos 2t. Assim
\int t\cos 2t\,dt = \frac{t}{2}\sin 2t - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2t\right) = \frac{t}{2}\sin 2t + \frac{1}{4}\cos 2t + C_1.
Multiplicando por 3,
\int 3t\cos 2t\,dt = \frac{3t}{2}\sin 2t + \frac{3}{4}\cos 2t + C,
onde já incorporei a constante.

Passo 7

Voltar para a expressão para t\,y(t). Temos
t\,y(t)=\frac{3t}{2}\sin 2t + \frac{3}{4}\cos 2t + C.
Dividindo por t (novamente válido porque t>0), obtemos a solução geral
y(t)=\frac{C}{t}+\frac{3}{2}\sin 2t + \frac{3}{4}\cdot\frac{\cos 2t}{t}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida:
  • A solução geral pode ser escrita como soma da solução homogênea e de uma particular:
    • Solução homogênea: \displaystyle y_h(t)=\frac{C}{t}, obtida resolvendo y'+\frac{1}{t}y=0.
    • Uma solução particular: \displaystyle y_p(t)=\frac{3}{2}\sin 2t + \frac{3\cos 2t}{4t}.
  • Em prova: se quiser checar, basta derivar y(t) e substituir na equação original; as contas darão y'+\frac{1}{t}y=3\cos 2t.
  • Nota sobre comportamento: o termo \dfrac{C}{t} domina perto de t\to 0^+ (diverge, a menos que C=0), enquanto os termos trigonométricos são limitados. Isso é compatível com o domínio t>0.

Resposta

y(t)=\dfrac{C}{t}+\dfrac{3}{2}\sin 2t+\dfrac{3\cos 2t}{4t}, onde C é constante real.

Exercícios relacionados