Considere os pontos
e
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Encontre a distância do ponto
ao plano
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Encontre a distância do ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica! A gente tem quatro pontos no espaço: $ A=(1,2,1) $, $ B=(3,1,4) $, $ C=(6,3,2) $ e $ D=(4,6,3) $. A missão é descobrir qual é a distância do ponto $ D $ até o plano $ \pi $. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a equação de um plano usando três pontos e depois usar a fórmula que calcula a distância de um ponto a esse plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a equação do plano $ \pi $ que passa pelos pontos $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos usar $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $.
Calculando $ \vec{AB} $:
Calculando $ \vec{AC} $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano $ \pi $. Esse vetor é perpendicular tanto a $ \vec{AB} $ quanto a $ \vec{AC} $, e podemos encontrá-lo calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando $ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} $:
Passo 4
Com o vetor normal $ \vec{n} = (-4, 13, 7) $ e sabendo que o plano passa pelo ponto $ A=(1,2,1) $, podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto pelo qual o plano passa. Substituindo:
Simplificando:
Então, a equação do plano $ \pi $ é:
Passo 5
Agora que temos a equação do plano $ \pi $, vamos usar a fórmula para encontrar a distância de um ponto $ D=(x_d, y_d, z_d) $ até o plano $ ax + by + cz + d = 0 $:
No nosso caso, a equação do plano é $ -4x + 13y + 7z - 29 = 0 $. Então, $ a = -4 $, $ b = 13 $, $ c = 7 $ e $ d = -29 $. O ponto $ D = (4,6,3) $.
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula da distância:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Resposta
A distância do ponto $ D $ ao plano $ \pi $ é aproximadamente $ 3.54 $ unidades.