Considere os pontos A=(1,2,1), B=(3,1,4), C=(6,3,2) e D=(4,6,3).
Encontre a distância do ponto D ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica! A gente tem quatro pontos no espaço: $ A=(1,2,1) $, $ B=(3,1,4) $, $ C=(6,3,2) $ e $ D=(4,6,3) $. A missão é descobrir qual é a distância do ponto $ D $ até o plano $ \pi $. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a equação de um plano usando três pontos e depois usar a fórmula que calcula a distância de um ponto a esse plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a equação do plano $ \pi $ que passa pelos pontos $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos usar $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $.
Calculando $ \vec{AB} $:
pi
Calculando $ \vec{AC} $:
A

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano $ \pi $. Esse vetor é perpendicular tanto a $ \vec{AB} $ quanto a $ \vec{AC} $, e podemos encontrá-lo calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando $ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} $:
pi
AB
AC

Passo 4

Com o vetor normal $ \vec{n} = (-4, 13, 7) $ e sabendo que o plano passa pelo ponto $ A=(1,2,1) $, podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
n = (-4, 13, 7)
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto pelo qual o plano passa. Substituindo:
A=(1,2,1)
Simplificando:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
(a, b, c)
Então, a equação do plano $ \pi $ é:
(x0, y0, z0)

Passo 5

Agora que temos a equação do plano $ \pi $, vamos usar a fórmula para encontrar a distância de um ponto $ D=(x_d, y_d, z_d) $ até o plano $ ax + by + cz + d = 0 $:
pi
No nosso caso, a equação do plano é $ -4x + 13y + 7z - 29 = 0 $. Então, $ a = -4 $, $ b = 13 $, $ c = 7 $ e $ d = -29 $. O ponto $ D = (4,6,3) $.

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula da distância:
d = |-4(4) + 13(6) + 7(3) - 29|raiz(-4)^2 + 13^2 + 7^2 = |-16 + 78 + 21 - 29|raiz16 + 169 + 49
Calculando o numerador:
-16 + 78 = 62 62 + 21 = 83 83 - 29 = 54 |54| = 54
Calculando o denominador:
16 + 169 = 185 185 + 49 = 234 raiz234 approx 15.2971

Resposta

A distância do ponto $ D $ ao plano $ \pi $ é aproximadamente $ 3.54 $ unidades.

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