Considere os pontos
e
.
Encontre a equação do plano
que contém
e
.
Encontre a equação do plano
Passo 1
Beleza, temos um exercício de geometria no espaço! A gente precisa encontrar a equação do plano que passa pelos pontos $ A = (1, 2, 1) $, $ B = (3, 1, 4) $ e $ C = (6, 3, 2) $. Para isso, vamos usar vetores e produtos vetoriais que são ferramentas chave na matéria de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que um plano no espaço pode ser definido por uma equação da forma:
Nossa missão é descobrir os coeficientes $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $.
Passo 3
Para achar esses coeficientes, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é perpendicular ao plano e, para encontrá-lo, podemos usar dois vetores que ficam dentro do plano.
Passo 4
Vamos encontrar dois vetores no plano usando os pontos dados. Por exemplo, os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
Passo 5
Agora, para achar o vetor normal $ \vec{n} $, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ (a, b, c) $ e $ (d, e, f) $ é:
Passo 6
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 7
Agora que temos o vetor normal $ \vec{n} = (-4, 13, 7) $, podemos usar um dos pontos, por exemplo o ponto $ A $, para encontrar a equação do plano. A equação geral do plano pode ser escrita como:
onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto no plano, e $ A $, $ B $, $ C $ são as componentes do vetor normal.
Passo 8
Substituindo os valores:
Distribuindo:
Passo 9
Simplificando os termos:
Resposta
A equação do plano $ \pi $ que contém os pontos $ A $, $ B $ e $ C $ é: