Considere os pontos A=(1,2,1), B=(3,1,4), C=(6,3,2) e D=(4,6,3).
Encontre a equação do plano pi que contém A, B e C.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de geometria no espaço! A gente precisa encontrar a equação do plano que passa pelos pontos $ A = (1, 2, 1) $, $ B = (3, 1, 4) $ e $ C = (6, 3, 2) $. Para isso, vamos usar vetores e produtos vetoriais que são ferramentas chave na matéria de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um plano no espaço pode ser definido por uma equação da forma:
Ax + By + Cz + D = 0
Nossa missão é descobrir os coeficientes $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $.

Passo 3

Para achar esses coeficientes, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é perpendicular ao plano e, para encontrá-lo, podemos usar dois vetores que ficam dentro do plano.

Passo 4

Vamos encontrar dois vetores no plano usando os pontos dados. Por exemplo, os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
AB
AC

Passo 5

Agora, para achar o vetor normal $ \vec{n} $, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n
Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ (a, b, c) $ e $ (d, e, f) $ é:
n = AB times AC

Passo 6

Aplicando isso aos nossos vetores:
n = (2, -1, 3) times (5, 1, 1) = ((-1)(1) - (3)(1), (3)(5) - (2)(1), (2)(1) - (-1)(5))
n = (-1 - 3, 15 - 2, 2 + 5) = (-4, 13, 7)

Passo 7

Agora que temos o vetor normal $ \vec{n} = (-4, 13, 7) $, podemos usar um dos pontos, por exemplo o ponto $ A $, para encontrar a equação do plano. A equação geral do plano pode ser escrita como:
n = (-4, 13, 7)
onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto no plano, e $ A $, $ B $, $ C $ são as componentes do vetor normal.

Passo 8

Substituindo os valores:
-4(x - 1) + 13(y - 2) + 7(z - 1) = 0
Distribuindo:
-4x + 4 + 13y - 26 + 7z - 7 = 0

Passo 9

Simplificando os termos:
-4x + 13y + 7z + (4 - 26 - 7) = 0
-4x + 13y + 7z - 29 = 0

Resposta

A equação do plano $ \pi $ que contém os pontos $ A $, $ B $ e $ C $ é:
pi

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