Encontre o ângulo entre a reta r: 2 x-3 y=0 e a reta s: (2-t, 7 t), t in R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas:
  • A reta $ r: 2x - 3y = 0 $
  • A reta $ s: {(2 - t, 7t), t \in \mathbb{R}} $
Queremos encontrar o ângulo entre essas duas retas. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de inclinação de uma reta e a fórmula para calcular o ângulo entre elas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a inclinação (coeficiente angular) da reta $ r $. A equação dada é $ 2x - 3y = 0 $. Podemos reescrever essa equação na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação.
Rearranjando:
r
Então, a inclinação da reta $ r $ é $ m_1 = \frac{2}{3} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta $ s $. A reta $ s $ está dada em forma paramétrica:
s
Para encontrar a inclinação, precisamos ver como $ y $ varia em relação a $ x $. Podemos expressar $ t $ em termos de $ x $ e substituir na equação de $ y $.
De $ x = 2 - t $, temos $ t = 2 - x $.
Substituindo em $ y $:
s
Isso está na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação. Portanto, a inclinação da reta $ s $ é $ m_2 = -7 $.

Passo 4

Agora que temos as inclinações das duas retas, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre elas:
theta
Substituindo os valores:
tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 |

Passo 5

Para encontrar o ângulo $ \theta $, vamos calcular o arco tangente de $ \frac{23}{11} $:
theta

Resposta

O ângulo entre as retas $ r $ e $ s $ é aproximadamente $ 64,29^\circ $.

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