Encontre a distância entre a reta
:
e o ponto
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria analítica, onde precisamos encontrar a distância entre uma reta e um ponto no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como representar a reta de forma paramétrica e utilizar conceitos de vetores para calcular a distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação paramétrica da reta $ r $ e as coordenadas do ponto $ A $. A reta $ r $ é dada por:
E o ponto $ A $ tem coordenadas $ (-1, 3, 2) $.
Passo 3
Vamos encontrar um vetor diretor da reta $ r $. Observando a equação paramétrica, percebemos que o parâmetro $ t $ está associado aos coeficientes de cada coordenada. Portanto, o vetor diretor $ \vec{v} $ é:
Passo 4
Agora, escolhemos um ponto qualquer na reta $ r $. Para facilitar, podemos usar o valor $ t = 0 $:
Com isso, construímos o vetor $ \vec{AP} $ que vai do ponto $ A $ até o ponto $ P $:
Passo 5
A distância $ d $ entre o ponto $ A $ e a reta $ r $ pode ser calculada usando a fórmula do produto vetorial:
Onde $ \times $ representa o produto vetorial e $ |\cdot| $ é o módulo do vetor.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{AP} $:
Portanto, $ \vec{v} \times \vec{AP} = (5, -7, -18) $.
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Também calculamos o módulo do vetor diretor $ \vec{v} $:
Resposta
A distância entre a reta $ r $ e o ponto $ A $ é: