Encontre a distância entre a reta r: (2-t, 7 t, 4-3 t), t in R e o ponto A=(-1,3,2).

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica, onde precisamos encontrar a distância entre uma reta e um ponto no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como representar a reta de forma paramétrica e utilizar conceitos de vetores para calcular a distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação paramétrica da reta $ r $ e as coordenadas do ponto $ A $. A reta $ r $ é dada por:
r
E o ponto $ A $ tem coordenadas $ (-1, 3, 2) $.

Passo 3

Vamos encontrar um vetor diretor da reta $ r $. Observando a equação paramétrica, percebemos que o parâmetro $ t $ está associado aos coeficientes de cada coordenada. Portanto, o vetor diretor $ \vec{v} $ é:
r

Passo 4

Agora, escolhemos um ponto qualquer na reta $ r $. Para facilitar, podemos usar o valor $ t = 0 $:
r
Com isso, construímos o vetor $ \vec{AP} $ que vai do ponto $ A $ até o ponto $ P $:
t = 0

Passo 5

A distância $ d $ entre o ponto $ A $ e a reta $ r $ pode ser calculada usando a fórmula do produto vetorial:
d
Onde $ \times $ representa o produto vetorial e $ |\cdot| $ é o módulo do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{AP} $:
v times AP
v times AP = i & j & k -1 & 7 & -3 3 & -3 & 2 = i(7 cdot 2 - (-3) cdot (-3)) - j((-1) cdot 2 - (-3) cdot 3) + k((-1) cdot (-3) - 7 cdot 3)
= i(14 - 9) - j(-2 + 9) + k(3 - 21)
Portanto, $ \vec{v} \times \vec{AP} = (5, -7, -18) $.
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
= i(5) - j(7) + k(-18)
Também calculamos o módulo do vetor diretor $ \vec{v} $:
v times AP = (5, -7, -18)

Resposta

A distância entre a reta $ r $ e o ponto $ A $ é:
r

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