Considere os pontos A=(1,2,1), B=(3,1,4), C=(6,3,2) e D=(4,6,3).
Verifique que A, B e C não são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: A=(1,2,1), B=(3,1,4), C=(6,3,2) e D=(4,6,3). A tarefa é verificar se os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, se eles são colineares. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e verificar se os vetores formados por esses pontos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os vetores AB e AC. Esses vetores representam as direções entre os pontos A e B, e A e C, respectivamente. Para encontrar um vetor entre dois pontos, a gente subtrai as coordenadas do ponto de partida das coordenadas do ponto de chegada.
Então:
AB = B - A = (3-1, 1-2, 4-1) = (2, -1, 3)
AC = C - A = (6-1, 3-2, 2-1) = (5, 1, 1)

Passo 3

Agora, queremos verificar se esses dois vetores, AB e AC, são paralelos. Se eles forem paralelos, significa que B e C estão na mesma linha que A, tornando os três pontos colineares.
Para os vetores serem paralelos, deve existir um número escalar k tal que:
AB = k cdot AC
Vamos tentar encontrar esse k comparando as componentes correspondentes dos vetores:
2 = 5k (1) -1 = 1k (2) 3 = 1k (3)
Da equação (2), temos que k = -1. Agora, vamos verificar se esse valor de k satisfaz as outras equações:
Da equação (1):
2 = 5(-1) Rightarrow 2 = -5 (Não é verdade) ãé
Da equação (3):
3 = 1(-1) Rightarrow 3 = -1 (Também não é verdade) éãé
Como não existe um valor de k que satisfaça todas as três equações simultaneamente, concluímos que AB e AC não são paralelos.

Resposta

Como os vetores AB e AC não são múltiplos um do outro, os pontos A, B e C não são colineares.

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