Encontre as equações paramétricas e cartesiana da reta que passa por
e é perpendicular n
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de geometria analítica. O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas e cartesianas de uma reta que passa pelo ponto $ A = (2, -1) $ e é perpendicular à reta dada pela equação $ \boldsymbol{r}: 2x - 3y = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a inclinação de uma reta, como encontrar uma reta perpendicular e como escrever as equações paramétrica e cartesiana.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação (coeficiente angular) da reta $ \boldsymbol{r}: 2x - 3y = 0 $. A forma geral de uma reta é $ ax + by + c = 0 $, e o coeficiente angular $ m $ é dado por $ m = -\frac{a}{b} $.
Para a reta $ 2x - 3y = 0 $:
Então, a inclinação da reta $ \boldsymbol{r} $ é $ \frac{2}{3} $.
Passo 3
Como queremos uma reta que seja perpendicular à $ \boldsymbol{r} $, precisamos achar a inclinação dessa nova reta. Reta perpendicular tem inclinação que é o negativo do inverso da inclinação original. Ou seja:
Então, a inclinação da reta perpendicular é $ -\frac{3}{2} $.
Passo 4
Agora que temos a inclinação $ m_2 = -\frac{3}{2} $ e sabemos que a reta passa pelo ponto $ A = (2, -1) $, podemos usar a forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta. A forma ponto-inclinação é:
Substituindo os valores:
Essa é a forma cartesiana da reta.
Passo 5
Para as equações paramétricas, vamos expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro $ t $. Podemos escolher $ x = 2 + t $. Como a inclinação $ m_2 = -\frac{3}{2} $ indica que para cada incremento de 2 em $ x $, $ y $ diminui 3, podemos relacionar $ t $ com isso.
Então:
Essas são as equações paramétricas da reta.
Resposta
As equações da reta perpendicular a $ \boldsymbol{r}: 2x - 3y = 0 $ e que passa pelo ponto $ A = (2, -1) $ são:
- Equação Cartesiana:
- Equações Paramétricas:
onde $ t $ é o parâmetro.