Considere os pontos A=(1,2,1), B=(3,1,4), C=(6,3,2) e D=(4,6,3).
Verifique que A, B, C e D não são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: $ A = (1,2,1) $, $ B = (3,1,4) $, $ C = (6,3,2) $ e $ D = (4,6,3) $. A pergunta é para verificar se esses pontos estão todos no mesmo plano, ou seja, se eles são coplanares. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa pontos serem coplanares. Quatro pontos são coplanares se eles estiverem todos no mesmo plano. Matematicamente, isso acontece se o volume do paralelepípedo formado por três vetores que partem de um dos pontos for zero. Esse volume pode ser calculado usando o produto misto dos vetores.

Passo 3

Vamos escolher o ponto $ A $ como base e construir três vetores a partir dele:
A
AB = B - A = (3-1,, 1-2,, 4-1) = (2, -1, 3)
AC = C - A = (6-1,, 3-2,, 2-1) = (5, 1, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto misto desses vetores. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Produto Misto = 2 & -1 & 3 5 & 1 & 1 3 & 4 & 2
Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos expandir pelo primeiro elemento:
= 2 times 1 & 1 4 & 2 - (-1) times 5 & 1 3 & 2 + 3 times 5 & 1 3 & 4

Passo 5

Calculando os menores:
1 & 1 4 & 2 = (1)(2) - (1)(4) = 2 - 4 = -2
5 & 1 3 & 2 = (5)(2) - (1)(3) = 10 - 3 = 7
5 & 1 3 & 4 = (5)(4) - (1)(3) = 20 - 3 = 17

Passo 6

Substituindo de volta no determinante:
Produto Misto = 2 times (-2) - (-1) times 7 + 3 times 17 = (-4) + 7 + 51 = 54

Passo 7

Como o produto misto é diferente de zero ( 54 neq 0), isso significa que o volume do paralelepípedo não é zero. Portanto, os pontos $ A, B, C $ e $ D $ não estão todos no mesmo plano.

Resposta

Os pontos $ A, B, C $ e $ D $ não são coplanares.

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