O que pode ser dito sobre dois vetores não nulos u e v que satisfazem a equação |u+v|=|u|+|v| ?
34. (a) Qual relação deve ser verificada para que o ponto p= (a, b, c) esteja equidistante da origem e do plano x z ? Garanta que a relação enunciada seja válida para valores positivos e negativos de a, b e c.
(b) Qual relação deve ser verificada para que o ponto p= ( a, b, c ) esteja mais distante da origem do que do plano x z ? Garanta que a relação enunciada seja válida para valores positivos e negativos de a, b e c.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, temos dois vetores não nulos u e v e a condição
|u+v|=|u|+|v|
Na segunda, definimos o ponto p=(a,b,c) e queremos:
– (a) a condição para p estar equidistante da origem e do plano xz (que é y=0);
– (b) a condição para p estar mais distante da origem do que do plano xz.

Passo 2

Para a primeira parte usamos o TriânguloDesigualdade: para quaisquer vetores u,v vale
|u+v|<= |u|+|v|,
e a igualdade ocorre se e somente se u e v forem colineares e apontarem no mesmo sentido.

Passo 3

Concluímos, portanto, que
|u+v|=|u|+|v|
implica que existe lambda>0 tal que v=lambda,u.

Passo 4

Na segunda parte lembramos as fórmulas de distância. A distância do ponto p=(a,b,c) à origem é
dori>=m=raiza^2+b^2+c^2,
e a distância ao plano xz (ou seja, y=0) é
dxz=lvert brvert

Passo 5

(a) Para que p esteja equidistante, basta exigir
raiza^2+b^2+c^2 ;=;lvert brvert,
que é uma relação válida mesmo se a,b,c forem positivos ou negativos.

Passo 6

(b) Para que p esteja mais distante da origem do que do plano xz, escrevemos
raiza^2+b^2+c^2 ;>;lvert brvert
Em forma equivalente (e eliminando a raiz), isso é
a^2+c^2>0,
o que mostra que basta que (a,c)neq(0,0).

Resposta

  1. Se |u+v|=|u|+|v|, então u e v são colineares e apontam no mesmo sentido (isto é, v=lambda,u com lambda>0).
    2a) Equidistância exige
raiza^2+b^2+c^2=lvert brvert
2b) Mais distante da origem do que do plano xz exige
raiza^2+b^2+c^2>lvert brvert

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