O que pode ser dito sobre dois vetores não nulos u e v que satisfazem a equação
?
34. (a) Qual relação deve ser verificada para que o ponto
esteja equidistante da origem e do plano
? Garanta que a relação enunciada seja válida para valores positivos e negativos de
e
.
(b) Qual relação deve ser verificada para que o ponto
(
) esteja mais distante da origem do que do plano
? Garanta que a relação enunciada seja válida para valores positivos e negativos de
e
.
34. (a) Qual relação deve ser verificada para que o ponto
(b) Qual relação deve ser verificada para que o ponto
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na primeira, temos dois vetores não nulos
e
e a condição
Na segunda, definimos o ponto
e queremos:
– (a) a condição para estar equidistante da origem e do plano
(que é
);
– (b) a condição para estar mais distante da origem do que do plano
.
– (a) a condição para
– (b) a condição para
Passo 2
Para a primeira parte usamos o Triângulo–Desigualdade: para quaisquer vetores
vale
e a igualdade ocorre se e somente se
e
forem colineares e apontarem no mesmo sentido.
Passo 3
Concluímos, portanto, que
implica que existe
tal que
.
Passo 4
Na segunda parte lembramos as fórmulas de distância. A distância do ponto
à origem é
e a distância ao plano
(ou seja,
) é
Passo 5
(a) Para que
esteja equidistante, basta exigir
que é uma relação válida mesmo se
forem positivos ou negativos.
Passo 6
(b) Para que
esteja mais distante da origem do que do plano
, escrevemos
Em forma equivalente (e eliminando a raiz), isso é
o que mostra que basta que
.
Resposta
- Se
, então e são colineares e apontam no mesmo sentido (isto é, com ).
2a) Equidistância exige
2b) Mais distante da origem do que do plano
exige