1 Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(3,0,2), C=(0,3,-1) e D=(2,1,2). Verifique que estes pontos são coplanares e determine a equação cartesiana do plano que os contém.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos A=(1,2,-1), B=(3,0,2), C=(0,3,-1) e D=(2,1,2). O conteúdo é geometria no espaço: primeiro vamos verificar se os quatro pontos são coplanares usando o produto triplo escalar (que mede o volume do tetraedro), depois determinamos a equação do plano passando por três deles e conferimos que o quarto também satisfaz.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de A:
AB=B-A=(2,-2,3), AC=C-A=(-1,1,0), AD=D-A=(1,-1,3)
Para testar coplanaridade, avaliamos o produto triplo
ABcdotl(ACtimes ADr)

Passo 3

Primeiro o produto vetorial:
ACtimes AD =det i & j & k -1 & 1 & 0 1 & -1 & 3 =(3,,3,,0)
Então o produto escalar com AB é
ABcdot(3,3,0) =2cdot3+(-2)cdot3+3cdot0=6-6+0=0
Como o produto triplo é zero, o volume do tetraedro é zero e os quatro pontos são coplanares.

Passo 4

Para achar a equação do plano, basta um vetor normal e um ponto. Podemos usar n=(3,3,0) obtido acima e o ponto A. A forma vetorial é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0,
ou seja
3(x-1)+3(y-2)+0,(z+1)=0
Isso simplifica para
3x-3+3y-6=0 Longrightarrow x+y-3=0

Passo 5

Verificamos que D=(2,1,2) satisfaz 2+1-3=0, confirmando que todos os quatro pontos estão no mesmo plano.

Resposta

Os pontos são coplanares e a equação cartesiana do plano que os contém é
x + y - 3 = 0

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