1 Considere os pontos e . Verifique que estes pontos são coplanares e determine a equação cartesiana do plano que os contém.
Passo 1
O enunciado fornece os pontos , , e . O conteúdo é geometria no espaço: primeiro vamos verificar se os quatro pontos são coplanares usando o produto triplo escalar (que mede o volume do tetraedro), depois determinamos a equação do plano passando por três deles e conferimos que o quarto também satisfaz.
Passo 2
Calculamos os vetores a partir de :
Para testar coplanaridade, avaliamos o produto triplo
ABcdotl(ACtimes ADr)
Passo 3
Primeiro o produto vetorial:
ACtimes AD =det i & j & k -1 & 1 & 0 1 & -1 & 3 =(3,,3,,0)
Então o produto escalar com AB é
ABcdot(3,3,0) =2cdot3+(-2)cdot3+3cdot0=6-6+0=0
Como o produto triplo é zero, o volume do tetraedro é zero e os quatro pontos são coplanares.
Passo 4
Para achar a equação do plano, basta um vetor normal e um ponto. Podemos usar n=(3,3,0) obtido acima e o ponto A. A forma vetorial é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0,
ou seja
3(x-1)+3(y-2)+0,(z+1)=0
Isso simplifica para
3x-3+3y-6=0 Longrightarrow x+y-3=0
Passo 5
Verificamos que D=(2,1,2) satisfaz 2+1-3=0, confirmando que todos os quatro pontos estão no mesmo plano.
Resposta
Os pontos são coplanares e a equação cartesiana do plano que os contém é